No.1ベストアンサー
- 回答日時:
x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0
より、
α^7=1
β_1=α+1/α=α+α^6
β_2=α^2+1/α^2=α^2+α^5
β_3=α^3+1/α^3=α^3+α^4
β_1+β_2+β_3=α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6=-1
β_1*β_2=(α+1/α)(α^2+1/α^2)=α^3+α+1/α+1/α^3=α+α^3+α^4+α^6
β_2*β_3=(α^2+1/α^2)(α^3+1/α^3)=α^5+α+1/α+1/α^5=α+α^2+α^5+α^6
β_3*β_1=(α^3+1/α^3)(α+1/α)=α^4+α^2+1/α^2+1/α^4=α^2+α^3+α^4+α^5
β_1*β_2+β_2*β_3+β_3*β_1=2(α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6)=-2
β_1*β_2*β_3=(α+1/α)(α^2+1/α^2)(α^3+1/α^3)
=α^6+1+α^2+1/α^4+α^4+1/α^2+1+1/α^6
=2+α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6=1
(x-β_1)(x-β_2)(x-β_3)
=x^3-(β_1+β_2+β_3)x^2+(β_1*β_2+β_2*β_3+β_3*β_1)x-β_1*β_2*β_3
=x^3+x^2-2x-1
f(x)=x^3+x^2-2x-1
ありがとうございました。
とても参考になりました。
類似の問題(12次パターンと18次パターン)を今投稿していまして、なにかの上手な計算のコツがある気がするのですが。
No.2
- 回答日時:
x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
x^3+x^2+x+1+x^(-1)+x^(-2)+x^(-3)=0
(x+1/x)^3 +(x+1/x)^2 -2(x+1/x) -1=0
X^3+X^2-2X-1=0 の解を調査する手もあるのではないかな。
ありがとうございます。
x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
x^3+x^2+x+1+x^(-1)+x^(-2)+x^(-3)=0
(x+1/x)^3 +(x+1/x)^2 -2(x+1/x) -1=0
t=x+1/x とすると、
t^3+t^2-2t-1=0
ここで、α^7=1より、
α+1/α=α^6+1/α^6,
α^2+1/α^2=α^5+1/α^5,
α^3+1/α^3=α^4+1/α^4
の3つはtの3次方程式の解なので、求める3次方程式は、x^3+x^2-2x-1=0
とても上手な解法をありがとうございました。
似たような問題も投稿していますので、興味がありましたらよろしくお願いいたします。
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