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絶対値 微分 問題

絶対値付きの微分についての質問です。
|sinx|,|cosx|,|logx|の微分って可能でしょうか?

グラフを描いてみたのですが、
|sinx|はx=0,π(πの周期)で微分不可能と思いました。
|cosx|はx=π/2の周期で微分不可能と思いました。
で|logx|はx=1で微分不可能と思いました。

例えば、|cosx|はx=0では微分可能ですが、
|sinx|はx=0では微分不可能です。
x=0に関しては、|cosx|は微分できるけど
|sinx|は微分できないと思います?
|logx|は、x=0関数が定義されない、x=1では
微分できない。

ここで、単純に|cosx|や|sinx|を微分せよ
と出題された場合は微分できないと言う回答でOKでしょうか?
微分するとは、x=xの微分係数を求める事だと認識
しています。


絶対値が付いている関数の微分の例題と回答があれば教えて下さい。

絶対値が付いた微分の問題に当たった事がないので、気になり
質問させて頂きました。


以上、ご回答よろしくお願い致します。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

logの微分」に関するQ&A: logの微分について

A 回答 (3件)

こんばんわ。



「微分可能」ということの定義は大丈夫ですよね?
極限として求めた場合に、左極限(h→-0)と右極限(h→+0)の値が一致することです。

ですので、
|sin(x)|の x= nπや |cos(x)|の x= (2n+1)π/2といった点では、微分不可能となります。
ただ、それ以外の点では微分可能です。
ですから、

>ここで、単純に|cosx|や|sinx|を微分せよ
>と出題された場合は微分できないと言う回答でOKでしょうか?
というわけではなく、条件を付けたり(x≠ nπなど)や場合分けをして(絶対値の中の正負)
微分係数を求めるのが通常だと思います。

絶対値付きの関数のグラフを考えると、y< 0の部分は x軸で折り返していることになります。
ですので、この「折り目」になっている点で、たいていは微分不可能になってきます。
(折り返す前のグラフが連続であり、かつ x軸をまたいでいるような点では)

>絶対値が付いている関数の微分の例題と回答があれば教えて下さい。
高校数学の内容でありがちな問題としては、
「連続」と「微分可能性」を論じさせるようなものがありますね。
関数:y= |x|について、x= 0で連続ではあるが、微分不可能であることを示せ。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
やはり、場合分けして微分しないといけないですね。ありがとうございました。

お礼日時:2011/06/16 21:55

連続関数ばかり考えると、絶対値を付けることにより、微分可能でない点が増えることはあっても減ることはない、みたいに考えてしまいがち。



極端な例を挙げてみます。

f(x) = -1 ( x ∈ Q ), f(x) = 1 ( x ∈ R - Q )

とした場合、f(x) と | f(x) | の微分可能性を考えてみるのも面白いと思います。
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>ここで、単純に|cosx|や|sinx|を微分せよ


>と出題された場合は微分できないと言う回答でOKでしょうか?
それだけでは不十分だと思います。
ちゃんと場合分けして、答える必要があります。

>絶対値が付いている関数の微分の例題と回答があれば教えて下さい。
y = | log x | ( x > 0 ) とすれば、
x > 1 のとき、dy/dx = 1/x,
x = 1 のとき、y は微分可能でない,
0 < x < 1 のとき、dy/dx = -1/x

平凡な例で恐縮ですが。
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Q絶対値の微分

|x|/(x^2+1)の導関数を求めよ。

絶対値の微分がわかりません!教えてください(m__m)

Aベストアンサー

f(x)=|x|/(x^2+1)
x>0のとき
f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2
x<0のとき
f'(x)=(x^2-1)/(x^2+1)^2
x=0のとき
右微分係数
f'+(0)=lim_{x→+0}{f(x)-f(0)}/x=lim_{x→+0}1/(x^2+1)=1
左微分係数
f'-(0)=lim_{x→-0}{f(x)-f(0)}/x=lim_{x→+0}-1/(x^2+1)=-1
f'+(0)=1≠-1=f'-(0)
だから
x=0のとき微分不可能だから導関数は存在しない

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Qy=x^(1/x) の 微分

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

Aベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log...続きを読む

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Qn次導関数

e^x sinx のn次導関数はどうやって求めるのですか?

Aベストアンサー

Lone07さん、こんばんは。
#4#5fushigichanです。
お礼のコメントいただき、ありがとうございました。

ちょっと不完全な気がして、また来ました。

n次導関数を、

f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4) ・・・(☆)
n:自然数

と予測しましたが、これを数学的帰納法で証明しておかないといけないように思いました。

n=1のとき、
f'(x)=√2e^xsin(x+Π/4)
なので、(☆)は成立している。

n=kのとき、(☆)が成立するとすると、

f^(k)(x)=(√2)^k*e^x*sin(x+kΠ/4)・・・(★)
が成り立っている。

n=k+1のときも(☆)が成り立つことを言えばいいから、
(★)をもう一度、xで微分すると、

f^(k+1)(x)=(√2)^k{(e^x)'sin(x+kΠ/4)+e^x(sin(x+kΠ/4)'}
=(√2)^ke^x{sin(x+kΠ/4)+cos(x+kΠ/4)}
=(√2)^(k+1)*e^x{(1/√2)sin(x+kΠ/4)+(1/√2)cos(x+kΠ/4)}
=(√2)^(k+1)*e^xsin{(x+kΠ/4) + Π/4}
=(√2)^(k+1)*e^x*sin(x+(k+1)Π/4)

となるので、(☆)はn=k+1のときも成り立つことが証明された。
よって、すべての自然数nについて、

f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4) ・・・(☆)
n:自然数

は成立する。
と、するのがいいと思います。
ご参考になればうれしいです。

Lone07さん、こんばんは。
#4#5fushigichanです。
お礼のコメントいただき、ありがとうございました。

ちょっと不完全な気がして、また来ました。

n次導関数を、

f^(n)(x)=(√2)^n*e^x*sin(x+nΠ/4) ・・・(☆)
n:自然数

と予測しましたが、これを数学的帰納法で証明しておかないといけないように思いました。

n=1のとき、
f'(x)=√2e^xsin(x+Π/4)
なので、(☆)は成立している。

n=kのとき、(☆)が成立するとすると、

f^(k)(x)=(√2)^k*e^x*sin(x+kΠ/4)・・・(★)
が成り立ってい...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qある関数が微分可能かどうかを調べる問題がわからない

関数 f(x)=|x(x-2)| が x=2 において微分可能であるかどうか調べよ

という問題がわかりません。

グラフを描くと微分可能ではないように思うのですが、
(x=2に、右から近づいたときと左から近づいたときの、その点における接線の傾きが等しくないように思える)
計算で確かめることができません。
確かめられないというのは、やり方がわからないという意味です。

おそらく、
lim(h→2+0){ f(2+h)-f(h) / h }
lim(h→2-0){ f(2+h)-f(h) / h }
の値を求めて比較すればいいのでしょうが、
右側・左側からの極限がよく理解できていないため、どのような操作をしてよいかわかりません。
右側・左側からの極限まで戻ってやり直してみたのですが、いろいろ考えているうちに混乱してしまいました。

どなたかご教示いただけると幸いです。

Aベストアンサー

まず左極限、右極限の式に間違いがありますね。正しくは
  lim(h→+0){ (f(2+h)-f(2)) / h }
  lim(h→-0){ (f(2+h)-f(2)) / h }
です。

次に右極限の方からやってみましょう。
h→+0ということはh>0の範囲でかんがえてよい。
このとき(2+h)*h>0より
  f(2+h) = |(2+h)*h| = (2+h)*h
絶対値を外すことに成功したので、改めて定義通り右から微分してみます。
  lim[h→+0]{(f(2+h)-f(2))/h} = lim[h→+0]{((2+h)*h-0)/h}
     = lim[h→+0]{2+h} = 2

左極限も同様に、h<0の範囲で考えると
  f(2+h) = |(2+h)*h| = -(2+h)*h
  lim[h→-0]{(f(2+h)-f(2))/h} = lim[h→+0]{-(2+h)} = -2

よって
  lim[h→+0]{(f(2+h)-f(2))/h} ≠ lim[h→-0]{(f(2+h)-f(2))/h}
よりx=2で微分不可能とわかりました。

まず左極限、右極限の式に間違いがありますね。正しくは
  lim(h→+0){ (f(2+h)-f(2)) / h }
  lim(h→-0){ (f(2+h)-f(2)) / h }
です。

次に右極限の方からやってみましょう。
h→+0ということはh>0の範囲でかんがえてよい。
このとき(2+h)*h>0より
  f(2+h) = |(2+h)*h| = (2+h)*h
絶対値を外すことに成功したので、改めて定義通り右から微分してみます。
  lim[h→+0]{(f(2+h)-f(2))/h} = lim[h→+0]{((2+h)*h-0)/h}
     = lim[h→+0]{2+h} = 2

左極限も同様に、h<0の範囲で考えると
...続きを読む

Q∫1/x√(x^2+1) の積分について。

∫1/x√x^2+1を積分しろ
という問題があるのですが、解答をみると
√(x^2+1)=t-x
と、置き換えて積分していくのですが、僕は
√(x^2+1)=t
とおいて積分したのですが、これでは出来ないのでしょうか?
一応これでも計算はできた(つもり?)のですが、解答と答えが違っていたのでどこかで、ミス(思い違い?してはいけないことをした?)があったのかと思うのですが…。

答えは
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|
です。
僕の置換の方法でやると、
1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|
です。

Aベストアンサー

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^2+1))]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
              |(x+1)^2-(x^2+1)|


     |x^2-(1-√(x^2+1))^2|
=Log―――――――――――――――
              |2x|


     |x^2-1+2√(x^2+1)-x^2-1|
=Log――――――――――――――――――
              |2x|


     -1+2√(x^2+1)-1
=Log――――――――――――
              |2x|


     √(x^2+1)-1
=Log―――――――――
        |x|


     [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=Log―――――――――――――――――
        |x[√(x^2+1)+1]|


         |x^2|
=Log――――――――――――
     |x[√(x^2+1)+1]|


           |x|
=Log――――――――――――
      √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
------------------------------------------------------------

1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|

   1        √(x^2+1)-1
 ――― ・ Log――――――――――――
   2        √(x^2+1)+1


   1        [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=――― ・ Log―――――――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1][√(x^2+1)+1]


   1            |x^2|
=――― ・ Log――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1]^2


            |x|
= Log――――――――――――
       √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
-----------------------------------------------------------

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^...続きを読む

Q微分可能なのに導関数が不連続?

一般にm回微分可能でも(d^m/dx^m)f(x)は連続ではないそうですが(本で読みました。)
f(x)が微分可能で、導関数f'(x)が連続でないような関数f(x)の例を教えてください。

傾きが不連続(導関数f'(x)が不連続)なのに滑らか(微分可能)ってのがどうもイメージできないので。

Aベストアンサー

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ)、Bn=1/(2nπ+π/2) としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(nπ) sin(2nπ)-cos(2nπ)}
 =lim(n→∞) (-1)=-1
lim(n→∞) f '(Bn)
 =lim(n→∞) {2/(2nπ+π/2) sin(2nπ+π/2)-cos(2nπ+π/2)}
 =lim(n→∞) (2/(2nπ+π/2))=0
よって、lim(n→∞) f '(An)≠lim(n→∞) f '(Bn)
「 」の定理の対偶を考えると、
lim(x→0) f '(x) が存在しない
ことが分かりますね。

ところでoodaiko先生に質問したいのですが。

>lim_{x→0} ( 2x sin (1/x) - cos (1/x))
>= lim_{x→0} 2x sin (1/x) - lim_{x→0} cos (1/x)

の部分です。
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立つのは
lim f(x)、lim g(x)がそれぞれ存在するとき
ですよね。でもlim_{x→0} cos (1/x) は存在しない・・・
実は私が読んでいた本でもoodaiko先生のように証明しているんです。
何か特殊な事情でもあって、この場合は例外的に
lim(f(x)+g(x))=lim f(x)+lim g(x)
が成り立っているのでしょうか。

oodaiko先生とだぶってしまったので補足します。
(私が書き始めたときは回答者数0だったもので・・・)

f '(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) がx=0で連続でないことを示します。
すなわち、
lim(x→0) f '(x) が存在しないことを示します。
「lim(x→0) f '(x) が存在するならば
0に収束する任意の数列An,Bnについて
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) f '(Bn)
が成り立つ。」
という定理があったことを思い出してください。
An=1/(2nπ)、Bn=1/(2nπ+π/2) としますと
lim(n→∞) f '(An)=lim(n→∞) {1/(nπ) sin(2nπ)-...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む


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