線形写像を求める問題で

線形代数の問題で考え方がわからない問題があります。（添付ファイル）

与えられた線形写像と基底に対応する表現行列を求めるのはできるのですが、表現行列から線形写像を求める方法がわかりません。
力不足でお恥ずかしい限りですが考え方を教えてください。お願いします。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/17 02:32

(x,y,z) を、基底 { (2,1,1), (-1,-1,1), (3,0,2) } の上で

成分表示してみればいいでしょ？
(x,y,z) = a(2,1,1) + b(-1,-1,1) + c(3,0,2) を満たす
a,b,c を求めるには、連立一次方程式を解けばいいよね。
その (a,b,c) に、行列
３　　　０　　　１
２　　－１　　　３
を掛けたものが、基底 { (1,4), (2,5) } 上の成分表示になる訳だ。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/06/16 11:19

えぇっと....

「与えられた線形写像と基底に対応する表現行列を求めるのはできる」んですよね. だったら, 線形写像を適当において「そこから得られる表現行列が指定されたものになる」という条件から方程式を立てればいいのでは?

もちろん (おそろしく) 効率は悪いが, 原理的にはこれで求まる.