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答えは、特殊な位置エネルギーと特殊な初期条件の場合を除けば指数関数的減衰です。
簡単のために、問題は1次元空間の中だけで起こる運動として説明します。多次元空間での運動は、全てべクトルで考えなくてはなりませんので、計算が複雑になりますが、計算の仕方は実質的には同じで、だから、特殊な場合を除いて指数関数的減衰のと言う答えは変わりません。
多くの減衰運動では力Fは速度に比例しますので、
F = -γx'
と仮定します。ここでγは定数であり、減衰定数と呼ばれているものです。後で解るように、それは正なら時間と共に減衰し、負なら増大してしまうので、γは必ず正の定数です。そうすると運動方程式は
m dx'/dt = -γx'
となります。この両辺にx'を掛けると、
2x'dx'/dt = dx'^2/dt
ですから、
dx'^2/dt = -[γ/(2m)]x'^2
となります。
そこで
y ≡ x'
σ≡ [γ/(2m)]
と、変数と常数を置き換えることにすると
dy/dt = -σy
となりますから、y = C exp[-σt] となることが、この式を直接代入すれば解りますね。但し、ここでCは時間によらない定数です。
だから、
x'^2 = C exp(-σt)
となって、σが正なので、この速度v = x'は減衰します。
また、運動が1次元であると仮定したので、この結果から
x'(t) = ±C exp(-σt/2)
となり、従って
x(t) = ±(2C/σ) exp(-σt/2) + C'
となります。但し、C'はCとは独立な積分定数です。プラスかマイナスの符号は例えば、t=0の初期の速度がx'(0)=v_0だとして、それを直ぐ上の上の式に代入すると、
v_0 = ±C
となりますから、その値で符号のどちらかが決まります。その結果、位置も
x'(t) = v_0 exp(-σt/2)
x(t) = (2v_0/σ) exp(-σt/2) + C'
となって、±の符号は解の中には現れない形式でも欠けます。更に、C'のあたいは、x の t=0 のときの初期値をx_0とすると、その式を直ぐ上の式に入れて得られる式、
x_0 = 2v_0/σ + C'
から、
C' = x_0 - 2v_0/σ
であることが解ります。
さて、その結果、位置エネルギーをV(x)とすると力学エネルギーEは、
E(t) = m[v(t)]^2/2 + V[x(t)]
= m[(v_0)^2 exp(-σt)]/2 + V[(2v_0/σ) exp(-σt/2) + C']
となり、運動エネルギーは寿命時間が1/σぐらいの所で指数関数的に減衰して0に近づき、、また、位置エネルギーは大体、時間が1/(2σ)の辺りで x が一定値の所に来た値の近傍に留まります。そして、tが十分大きくなると,Eは指数関数的に
E(t) -> V(C') = V(x_0 - 2v_0/σ)
の値に近づいて行きます。
だから、位置エネルギーがxの余程変わった関数でない限り、この力学的エネルギーはし数kん数的に振る舞います。
しかし位置エネルギーがとても変わってい、その関数の形が、
V(x) = A ln(x)
という、eを底にした対数関数だとして見ましょう。但し、Aはエネルギーの物理的次元を持った常数です。さらに、t=0のときの初期条件がまた特殊で、v_0 > 0 であり、さらに
C' = x_0 - 2v_0/σ = 0
と言う特別な場合を考えたとします。そうすると力学的エネルギーは
E(t) = m[(v_0)^2 exp(-σt)]/2 + A ln[(2v_0/σ) exp(-σt/2)]
= m[(v_0)^2 exp(-σt)]/2 + A ln[(2v_0/σ)] - Aσt/2
となって、指数関数的には減衰ずに、tに比例しながらその絶対値はどんどん大きくなって行きます。
だから、その特殊な場合には、必ずしもエネルギーの絶対値は減衰せず、その反対に増大してしまうことも在ります。
だから、この宿題の正解は、
「先生はどのように減衰するかと聞いておりますが、その聞き方は間違いです。何故なら、特殊な場合にはエネルギーの絶対値の値が増大してしまうことも在るからです」
と一言入れて置くのが正しい。
そこまで書いて置いたら、先生は100満点の問題で貴方に120点くれるかもしれませんよ。
以上
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