線形代数の問題です

線形代数の問題です
４点、A（２，１，０）、B（１，１，１）、C(－１，１，１)、D(０，２，１)からなる四面体について答えよ
１、⊿ABCの面積
２、⊿ABCに点Dから降りる垂線
３、四面体ABCDの体積

よろしくお願いします

さっぱりわからないのでできれば詳しくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/06/23 15:48

１、

a=BC=√{(1+1)^2+(1-1)^2+(1-1)^2}=2
b=AC=√{(2+1)^2+(1-1)^2+(0-1)^2}=√10
c=AB=√{(2-1)^2+(1-1)^2+(0-1)^2}=√2
面積はヘロンの公式S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}で計算すれば良い。
s=(a+b+c)/2=(2+√10+√2)/2
後は計算して下さい。

２、
A(2,1,0),B(1,1,1),C(-1,1,1),D(0,2,1)
⊿ABCに点Dから降りる垂線
⊿ABCの平面の方程式を
　ax+by+cz=1
とおくと点A,B,Cを通ることから
　2a+b=1
　a+b+c=1
-a+b+c=1
これを解いて a=0,b=1,c=0
⊿ABCの平面の方程式は
　0x+1y+0z=1 ⇔ y=1

D(0,2,1)を通る⊿ABCの垂線は
(x,y,z)=(0,2,1)+t(0,1,0)=(0,2+t,1)
書き換えると
　 x=0,z=1

３、
体積（参照：参考URL）は次式で与えられる。
　V=|DA・(DB×DC)|/6
参考URL
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/te …

DB×DC=(1,-1,0)×(-1,-1,0)=(0,0,-2)
DA=(2,1,0)-(0,2,1)=(2,-1,-1)
DA・(DB×DC=(2,-1,-1)・(2,-1,-1)=4+1+1=6

　∴V=|6|/6=1

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2011/06/23 20:53

#1です。

A#1について

１、
計算すれば
⊿ABCの面積S=1
となります。
3次元プロットした図を描けばBC=a=2
AからBCに下ろした垂線AEの長さ(⊿ABCの高さ)d=1
なので⊿ABCの面積S=a・d/2=2・1/2=1
と計算した方が簡単でした。

２、
「⊿ABCに点Dから降りる垂線」とあったので
A#1では、xyz座標での垂線の方程式を
求めてしまいました。
問題を考えると、
「⊿ABCに点Dから降りる垂線の長さ」のようです。
そうであれば3次元プロットした図を描きDから⊿ABCに垂線AHを下ろせば
Hは辺BCの中点になり、図から求める垂線AHの長さは
AH=h=1
となります。

３．
A#1の３．は計算間違いがあるようです。
なので、より簡単に計算できる方法で計算すると
四面体ABCDの体積V＝S・h/3=1・1/3=1/3
となりました。
この方が簡単ですね。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2011/06/23 17:52

実際に描いてみれば簡単でしょうに。

△ABCのy座標は全部同じなので、それを除いて考えれば、
底辺BC＝２、高さ＝１の三角形だから、面積は１

△ABCに点Dから降りる垂線の長さは、y座標を見れば一目瞭然で１

四面体ABCDは、底面積＝１、高さ＝１の三角錐だから、体積は１／３