
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
リクエストにお答えして補足します。
大雑把な書き方でしたが(正のy)というのは b+√(a^2-x^2)、
(負のy)というのは b-√(a^2-x^2)のことと思ってください。
ちなみに√(a^2-x^2)は(a^2-x^2)の平方根のことです。
(コンピュータ関係ではsqrt(a^2-x^2)と書く方が一般的ですね)
ryumuさんの言われるように、この物体はドーナツ状ですよね?
これをx軸(回転軸です)に垂直な平面でスライスした断面形状を考えると、
外側の輪郭は半径が(正のy)の円、内側の輪郭は半径が(負のy)の円になります。
外側の円の面積から内側の円の面積を引いて
π(b+√(a^2-x^2))^2-π(b-√(a^2-x^2))^2
で断面積を出すわけです。展開してみてください。
私の方で何か勘違いしてる可能性もありますが、多分大丈夫でしょう。
ご確認下さい、それでは頑張って!
No.2
- 回答日時:
これは、0<a<bなので単なるドーナッツの体積ですね。
答のチェックなら、簡単に、”重心の軌跡×断面積”から体積が分かります。
この場合、重心=(0,b)で、x軸回転による重心軌跡は2πb。
断面積は、円の面積でπa^2。
よって、
V= ”重心の軌跡×断面積”=2πb× πa^2
となり、答はあってますね。
”重心の軌跡×断面積”で回転体の体積が求まるのは、割と簡単に証明できると思います。
No.1
- 回答日時:
過程は面倒くさいですが、正統派の高校数学の問題ですね。
随分と久しぶりなのであまり自信が無いですが、簡単にやってみましょう。
設問の円の曲線を書きかえると、
y(x)=b±√(a^2-x^2)になりますね。
この回転体を平面x=xで切った時、断面積は
π((正のy)^2-(負のy)^2)なので
π^2=4πb×√(a^2-x^2)になりますよね。
これをxについて-aからaまで積分すればおしまいです。
具体的にはx=asin(θ)の置き換えをやってθを0からπ/2まで定積分して答えを2倍すれば良いでしょう。
dθ/dxを使った積分式の書き換えは大丈夫ですよね?
8πa^2b×∫(cos^2(θ))dθ の[0,π/2]の積分式が立ったでしょうか?
これはcos^2(θ)を含む式ですが(1+cos(2θ))/2に置きかえれば積分可能です。
最終的にはC(θ)=8πa^2b(θ/2+sin(2θ)/4)について
C(π/2)-C(0)を求める式になるはずです。
察する所学校か受験の問題のようですし、詳細の確認は自力でお願しますね。
一度解かれたようなので大丈夫でしょう。間違っていたらごめんなさい。
果たして本当に合っているのやら…。
ご回答ありがとうございます。しかし,よく分からないところがあります。
>この回転体を平面x=xで切った時、断面積は
>π((正のy)^2-(負のy)^2)なので
>π^2=4πb×√(a^2-x^2)になりますよね。
この部分がどうしても分かりません。その他のところは分かったんですけど。
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