次の問題が分かりません。答えが合わないんですよ。

次の図形をx軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。

円 x^2+(y-b)^2=a^2 (0<a<b)

答えは2*π^2*a^2*bになるんですけど…。

A 回答 (3件)

リクエストにお答えして補足します。



大雑把な書き方でしたが(正のy)というのは b+√(a^2-x^2)、
(負のy)というのは b-√(a^2-x^2)のことと思ってください。
ちなみに√(a^2-x^2)は(a^2-x^2)の平方根のことです。
(コンピュータ関係ではsqrt(a^2-x^2)と書く方が一般的ですね)

ryumuさんの言われるように、この物体はドーナツ状ですよね?
これをx軸(回転軸です)に垂直な平面でスライスした断面形状を考えると、
外側の輪郭は半径が(正のy)の円、内側の輪郭は半径が(負のy)の円になります。
外側の円の面積から内側の円の面積を引いて
π(b+√(a^2-x^2))^2-π(b-√(a^2-x^2))^2
で断面積を出すわけです。展開してみてください。

私の方で何か勘違いしてる可能性もありますが、多分大丈夫でしょう。
ご確認下さい、それでは頑張って!
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この回答へのお礼

 ご回答ありがとうございます。ようやく分かりました。

お礼日時:2001/04/30 12:24

これは、0<a<bなので単なるドーナッツの体積ですね。


答のチェックなら、簡単に、”重心の軌跡×断面積”から体積が分かります。
この場合、重心=(0,b)で、x軸回転による重心軌跡は2πb。
断面積は、円の面積でπa^2。
よって、

 V= ”重心の軌跡×断面積”=2πb× πa^2

となり、答はあってますね。
”重心の軌跡×断面積”で回転体の体積が求まるのは、割と簡単に証明できると思います。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。そのような公式があったとは知りませんでした。

お礼日時:2001/04/30 12:25

過程は面倒くさいですが、正統派の高校数学の問題ですね。


随分と久しぶりなのであまり自信が無いですが、簡単にやってみましょう。

設問の円の曲線を書きかえると、
y(x)=b±√(a^2-x^2)になりますね。

この回転体を平面x=xで切った時、断面積は
π((正のy)^2-(負のy)^2)なので
π^2=4πb×√(a^2-x^2)になりますよね。
これをxについて-aからaまで積分すればおしまいです。

具体的にはx=asin(θ)の置き換えをやってθを0からπ/2まで定積分して答えを2倍すれば良いでしょう。

dθ/dxを使った積分式の書き換えは大丈夫ですよね?

8πa^2b×∫(cos^2(θ))dθ の[0,π/2]の積分式が立ったでしょうか?
これはcos^2(θ)を含む式ですが(1+cos(2θ))/2に置きかえれば積分可能です。

最終的にはC(θ)=8πa^2b(θ/2+sin(2θ)/4)について
C(π/2)-C(0)を求める式になるはずです。

察する所学校か受験の問題のようですし、詳細の確認は自力でお願しますね。
一度解かれたようなので大丈夫でしょう。間違っていたらごめんなさい。
果たして本当に合っているのやら…。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。しかし,よく分からないところがあります。

>この回転体を平面x=xで切った時、断面積は
>π((正のy)^2-(負のy)^2)なので
>π^2=4πb×√(a^2-x^2)になりますよね。

この部分がどうしても分かりません。その他のところは分かったんですけど。

お礼日時:2001/04/29 15:46

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Q「円ドル双方向換算」マクロを作成しているのですが・・・(長文です)

Function 円ドル換算(円元金 As Integer)
' 受け取ったドル元金から円換算額を算出して返す
' 引数:ドル元金(Integer型)
' 返数:円換算(Integer型)
Dim 換算レート As Double
Dim ドル換算額 As Double

' 換算レート(1ドル価格)を設定する
換算レート = 109.5

' 円元金からドル換算額を算出する
ドル換算額 = 円元金 / 換算レート

' ドル換算額を呼び出し元に戻す
円ドル換算 = ドル換算額
End Function
Function ドル円換算(ドル元金 As Integer)
' 受け取った円元金からドル換算額を算出して返す
' 引数:円元金(Integer型)
' 返数:ドル換算
Dim 換算レート As Double
Dim 円換算額 As Double

' 換算レート(1ドル価格)を設定する
換算レート = 1 / 109.5

' ドル元金から円換算額を算出する
円換算額 = ドル元金 / 換算レート

' 円換算額を呼び出し元に戻す
ドル円換算 = 円換算額
End Function
Sub 円ドル双方向換算()
Dim ユーザー選択 As Integer
Dim 元金 As Integer
Dim 換算額 As Integer

' 円元金を取得する
円元金 = Range("B3").Value

' ドル元金を取得する
ドル元金 = Range("B3").Value

' 換算する通貨を判定し、それぞれについて換算を行う
If Range("B2") = 1 Then '円ドル換算を行う場合
換算額 = 円ドル換算(ドル元金)
換算額 = Application.WorksheetFunction.Round(円ドル換算, 1) '四捨五入して小数点1桁に変換する
Range("B4").Value = 円ドル換算 '円ドル換算値を出力する
ElseIf Range("B2") = 2 Then 'ドル円換算を行う場合
換算額 = ドル円換算(円元金)
換算額 = Application.WorksheetFunction.Round(ドル円換算, 1) '四捨五入して小数点1桁に変換する
Range("B4").Value = ドル円換算 'ドル円換算値を出力する
End If
End Sub

B2のセルにくる数字が1のときは円→ドルに、2のときはドル→円に換算するマクロを作りたいのですが・・・
元金はセルB3に、換算額はセルB4に表示します。
かなり初心者なので、模範解答を示してもらえると助かります^^;
よろしくお願いします><

Function 円ドル換算(円元金 As Integer)
' 受け取ったドル元金から円換算額を算出して返す
' 引数:ドル元金(Integer型)
' 返数:円換算(Integer型)
Dim 換算レート As Double
Dim ドル換算額 As Double

' 換算レート(1ドル価格)を設定する
換算レート = 109.5

' 円元金からドル換算額を算出する
ドル換算額 = 円元金 / 換算レート

' ドル換算額を呼び出し元に戻す
円ドル換算 = ドル換算額
End Function
Function ドル円換算(ドル元金 As Integer)
' 受け取った円元金からドル換算額...続きを読む

Aベストアンサー

もう少し親切にするなら、
B2に「入力規則」-「リスト」で「元の値」に「円→ドル,ドル→円」として
ユーザー定義関数側を
Function 通貨換算(元金 As Integer,モード As String)
と変更し、更にIf部分を
If モード = "円→ドル" Then
通貨換算 = Round(元金/レート,1)
Else
通貨換算 = Round(元金*レート,1)
End If
と変更すれば、「1はどっちへの換算だっけ?」と迷わず済みます。

なお、#1で回答した中の、
' 返数:換算結果(Integer型)
は不要ですね。

Aベストアンサー

絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
   これを解いて、 x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1) ・・・(1)
   ここで a1 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると
   両方に(b2-b1)をかけた式で a1(b2-b1)-(a1b2-a2b1)=-a1b1+a2b1
   =b1(-a1+a2)>0 となるので a1>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となります
   したがって、ここでの解は(1)の解でよいことになります。
2.a1≦x<a2 のとき・・・x-a1は正、x-a2は負だから
   b2(x-a1)>-b1(x-a2)
   これを解いて、x>(a1b2+a2b1)/(b1+b2)
   ここで、1.のときと同様にして (a1b2+a2b1)/(b1+b2) とa1,a2
   との大小関係を考えると、省略しますが、
     a1<(a1b2+a2b1)/(b1+b2)<a2 となり、
   ここでの解は (a1b2+a2b1)/(b1+b2)<x<a2・・・(2)
3.a2≦x のとき・・・x-a1もx-a2も正だから
   b2(x-a1)>b1(x-a2)
   これを解いて x>(a1b2-a2b1)/(b2-b1)
   同様に a2 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると、また
   省略しますが a2>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となり
   ここでの解は a2≦x・・・(3)

以上、(1)~(3)が解となります。
各場合について、数直線をかいて考えるといいでしょう。

絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
   これを解いて、 x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1) ・・・(1)
   ここで a1 と (...
続きを読む

Q1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円でした。1ドル125.6円の時、1香港ドル16円でした。

1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円でした。
1ドル125.6円の時、1香港ドル16円でした。

ドル円は4円差があるのですが、香港ドルは0.4円しか差がありません。
この差を利用して儲けることができるのでしょうっか?

Aベストアンサー

> 1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円でした。

で、そのとき、1ドルは何香港ドルだったのか。「1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円、1ドルが(121.5÷15.6)より多い香港ドル」だったとするなら、円をドルに替えてそれを香港ドルに替えてそれを円に替えると得をする。
 こういう状況を「裁定機会」と言う。もし裁定機会が生じたら、1/1000秒にも満たないうちに誰か(のコンピュータ)がこの取引をやってしまうんで、すぐに換算レートが修正されて、裁定機会は消滅しちゃいます。すなわち、1ドルが(121.5)÷(15.6)香港ドル、というレートに修正されてしまうと、円をドルに替えてそれを香港ドルに替えてそれを円に替えても、また円を香港ドルに替えてそれをドルに替えてそれを円に替えても、元のままです。
 円・ドル・香港ドルに限らず、商品(石油とか)や債券との間でも裁定機会は滅多に生じず、生じても即座に消滅する。(てか、古典的経済学では「裁定機会は存在しない」というのが定説だった。でも最近になって実際にデータを詳細に調べたら(まれに瞬間的に)裁定機会が生じていることが発見された、という話なんです。)

> 1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円でした。

の時点でドルを買った人Aと、香港ドルを買った人Bとがいたとする。その後、第二の時点で

> 1ドル125.6円の時、1香港ドル16円でした。

となった。つまり、ドルも香港ドルも高くなった。この時点で、Aが手持ちのドルを円に替え、Bは手持ちの香港ドルを円に替えたとすると、A,Bどちらも、買うのに使った円よりも多くの円を手に入れる。
 これは単に、Aは円とドルの間の為替差益、Bは円と香港ドルの間の為替差益によって、この場合はたまたま儲けたというだけのことです。
 第二の時点でまだ売らずにおけば、後でもっと為替差益が大きくなってさらに儲けられるチャンスが来た(だから第二の時点で売らなきゃ良かった)かもしれないし、あるいは、売らずにおいたらその後「売ったら損になる」状況が続いて資金が塩漬けになっちゃう(だから第二の時点で売っといてよかった)かもしれない。
 要するに、売りたいときに売りたいものを持ってないと意味がない訳で、そのためにはあらかじめ「将来売りたくなるもの」を予想して買っておかなくてはならん。博打の一種にすぎません。

> 1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円でした。

で、そのとき、1ドルは何香港ドルだったのか。「1ドル121.5円の時、1香港ドル15.6円、1ドルが(121.5÷15.6)より多い香港ドル」だったとするなら、円をドルに替えてそれを香港ドルに替えてそれを円に替えると得をする。
 こういう状況を「裁定機会」と言う。もし裁定機会が生じたら、1/1000秒にも満たないうちに誰か(のコンピュータ)がこの取引をやってしまうんで、すぐに換算レートが修正されて、裁定機会は消滅しちゃいます。すなわち、1ドルが(121.5)÷(15.6)香...続きを読む

Q∫〈x〉=b^x /( a^x+b^x )   (1<a<b) のときlim_

関数∫(x) = b^x /( a^x+b^x)  (1<a<b)のときの 
lim_(x→∞)∫(x)、lim_(x→-∞)∫(x)求めよ。

関数の記号の入力の仕方が解らなくて間違えているかもしれません。ごめんなさい。よろしくお願いします。手書きですが、問題画像付けました。

Aベストアンサー

x→∞のとき
分母と分子をb^xで割る。
|a/b| < 1 だから(a/b)^xが0に収束することを利用

x→-∞のとき
分母と分子をa^xで割る
(b/a)^xが0に収束することを利用。

こういう問題はより大きくなる方で割ればいい。

Q円とドルの往復の際、平均レートで処理するとなぜ損になるのか

どうも数字に弱いので、どなたかこの疑問に答えていただけると幸いです。
米国への海外出張の際、現地での現金払いは、円からドルに換金した時と、ドルから円に戻した時のレートの平均値を取り、海外で使ったドルを円に換金して支払う、てな決まりが現在あるのですが、前回の収支を見ると、明らかに出張者が損します。なぜなんでしょうか。(そんな方法を採用している自体バカじゃないかというのは置いておいてください、、、)
例 20,000を円からドルへ レート:1ドル200円としてドルは100ドル
海外で50ドルを使用
残りの50ドルを円へ レート:1ドル100円として円は5,000円
(マーケットレートがあまり変わらない場合、円に戻す方がレートが悪いのでこういう想定にしました)
レートの200円と100円との平均は150円
海外で使用した50ドルを1ドル150円で換算すると7,500円
しかし、実際は20,000円持って行って返ってきたのが5,000円だから使用したのは15,000円で、7,500円しかもらえなかったら7,500円損する。
この差が出るのは
1. そもそも使った50ドルは200円で買ったドルなのだから、価値は10,000円。7,500円としか評価されなければ2,500円の損
2.返ってきたドルも、100円なのに150円と過剰評価されているので1ドル当たり50円損していて合計2,500円の損

でもこの2つの損を合計しても、5,000円の損であって、実際損した7,500円にならないのは何でなんでしょうか。
よろしくお願いいたします。

どうも数字に弱いので、どなたかこの疑問に答えていただけると幸いです。
米国への海外出張の際、現地での現金払いは、円からドルに換金した時と、ドルから円に戻した時のレートの平均値を取り、海外で使ったドルを円に換金して支払う、てな決まりが現在あるのですが、前回の収支を見ると、明らかに出張者が損します。なぜなんでしょうか。(そんな方法を採用している自体バカじゃないかというのは置いておいてください、、、)
例 20,000を円からドルへ レート:1ドル200円としてドルは100ドル
海外で50ド...続きを読む

Aベストアンサー

>2.返ってきたドルも、100円なのに150円と過剰評価されているので1ドル当たり50円損していて合計2,500円の損
これがおかしいのでは.
返ってきたドルは,1ドル200円で買ったものなのに,1ドル100円になったしまったら,1ドルあたり100円損なんで,合計5000円の損ですね.2.は会社は無関係なんで,150円という数字は関係ないです.

Q材料力学(数学)の問題です。 0<x<bでy=ax、b<x<2bでy=ab、2b<x<3bでy=-a

材料力学(数学)の問題です。

0<x<bでy=ax、b<x<2bでy=ab、2b<x<3bでy=-ax+3abである関数のグラフを描け。a、bは正の定数とする。
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0<x<bでy=ax
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a,bが定数なので、abも定数です。
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2b<x<3bでy=-ax+3ab
これは最初の比例のグラフと傾きが正負逆になっていますね。
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Qドルと円の計算式 スイマセン、基本的な質問です。

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100円で100万買うと10000ドル??
差額の526ドルが儲けなんでしょうが、そのレートは100円で計算???
それとも買ったときの95円????

もう頭の中が?でいっぱいです(笑)
簡単に分かる方法ないですか?
よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

95円のレートで100万円分のドルを買うと10526ドル。
10526ドルを100円のレートで円に換えると、10526×100で1,052,600円です。ですから5万2千600円の得です。まあ、526ドルの得と考えても良いですけど。結局526ドルを100円のレートで交換すれば52600円ですから同じです。

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∫cosh^2(x)/(a^2+(b-x)^2)dxを-∞<x<∞の範囲で定積分をしたいのですが、やり方を教えて頂けませんか?
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mapleを(初心者ですが)使って不定積分すると、

-2/[(e^x)^2+1](a^2+b^2-2bx+x^2)+∫4(b-x)/(a^2+b~2^2bx+x^2)^2((e^x)^2+1)dx

となり、積分結果に積分が出てきます。

また、直接定積分を行うと積分されずにそのままの∫の形で表示されます。
mapleの使い方が悪いのか、そもそも扱っている式が難しいのかわかりません。
数値計算を行う方が適していたら、その方法もお教え下さい。

申し訳ありませんが、どなたか教えて下さい。よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

Maple持っていますが、pet_bottle さんと結果が違います。被積分関数が質問の通りならMapleコマンドは以下のようになります。
   int(cosh(x)^2/(a^2+(b-x)^2),x);
この結果は虚数とarctanと指数積分(∫exp(-x*t)/t^n dt )を含むかなり複雑な式になり、-∞~+∞までの定積分は∞となります。
   int(cosh(x)^2/(a^2+(b-x)^2),x=-inifity..infinity); → ∞
被積分関数は cosh(x)^2/(a^2+(b-x)^2) で正しいですか?

定積分が発散しないなら、以下のコマンドで、定積分を a と b の関数として
   f:=(a,b)->evalf(int(被積分関数),x=-infinity..infinity));
で定義して、以下のコマンドで3Dグラフが描けます。
   plot3d(f(a,b),a=0..1,b=0..1,axes=boxed,grid=[50,50]);

Q1ドル118円の時、円からドルに換金したドルと、1ユーロ151円の時、

1ドル118円の時、円からドルに換金したドルと、1ユーロ151円の時、円からユーロに換金したユーロをいくらかずつ所有しています。1ドル80円、1ユーロ114円となった今、これらの外貨を最小限の損失で運用するにはどうしたらいいでしょうか?

Aベストアンサー

先日TVで見たのですが、ドル円の予想で110~120円になるには10年くらいかかるという専門家が6人中3人でした。
ドルやユーロが通用するところへ旅行に行ったとき使ってくるくらいです。

Qa^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<

a^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<=6 を示せ。
(ただし,a>0,b>0,c>0)これは、既出の問題で、添削をしてもらい、間違いを指摘してもらいました。
いろいろ考えましたが、良い考えがでません。
添削してもらった解答は、c<=b<=a と置いて、これより、c<=1 が分かる。
また、相加相乗を使うと、abc<=1 となるので、証明する式は、
a^3+b^3+c^3<=3 となる。ここで、c<=1だから、a^3+b^3+c^3<=a^3+b^3+1^3となるので、
a^3+b^3<=2を a^2+b^2+1^2=3,つまり、a^2+b^2=2のもとで示せばよい。
としてしまいましたが、c=1でa^3+b^3+c^3が最大になるとは限らないので、ここで考えは
破綻しました。
良い考えがありましたら、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>a^3+b^3+c^3≦3が示された

反例
(√5/2)^2+(√5/2)^2+(√2/2)^2=3
(√5/2)^3+(√5/2)^3+(√2/2)^3>3


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