質問 物理 球の全圧 大学

解説お願いします。

半径rの半球を、密度ρの液体中に入れて、
平面部を水平にして（ドームのような感じ）、平面部の深さが
h(h>r)になるように沈めるとき、曲面部のに加わる全圧はいくらか。
ただし、外気圧は無視する。

ある部分の圧力をPとおいて、P＝ρg(h-r cosθ)
水平方向はかからないので垂直方向P’が、P’＝Pcosθ
積分を用いて解くみたいなのですが、どうやったらいいかわかりません。
お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Quarks 回答日時： 2011/10/20 10:00

半球部分に働いている、水の重さに起因する垂直抗力を求め、半球の表面積で除して、圧力を求めることになるのでしょうか。

図から、網掛け部に掛かる、中心方向成分力ｆは
ｆ＝Ｗ・cosθ
＝ρ・(h-r・cosθ)・r^2・sinθ・cosθ・dφ・dθ・g・cosθ
です。
鉛直軸方向成分だけが生き残るので、
ｆz＝ｆ・sinθ
を、φ：0～2π、θ：0～π/2の範囲で積分すれば、球面全体が受ける下向きの合力Ｆが求まります。

Ｆ＝2πρ・r^2・g∫[0..π/2](h-r・cosθ)・(sinθ・cosθ)^2・dθ
＝…

全圧Ｐは、表面積2πr^2でＦを除して求めれば良いと思います。
Ｐ＝F/(2πr^2)
=…