マクローリン展開について

Question

マクローリン展開の問題なのですが、以下の問題で何回解いても模範回答と同じ答えになりません。
どなたか途中式を含めて解説お願いできないでしょうか。

y=tanxのマクローリン展開をx^5の項まで求めよ
(剰余項は考えなくて良い)

という問題です
よろしくお願いします

gtmrk · Accepted Answer

こんにちは。

できれば質問者様が解いた過程を乗せて頂けると、
どこでハマっているのか指摘しやすかったかもしれません。

単純に x の５次の項まで展開せよとのことなので、
微分計算がなかなか合わないだけですかね。

dy/dx = d/dx(tan(x)) = 1/cos2(x) = tan2(x) + 1

d2y/dx2 = 2 tan(x)(dy/dx) = 2 tan3(x) + 2 tan(x)

d3y/dx3 = 6 tan2(x)(dy/dx) + 2 (dy/dx) = 6 tan4(x) + 8 tan2(x) + 2

d4y/dx4 = 24 tan3(x)(dy/dx) + 16 tan(x)(dy/dx)
　　　　　　　= 24 tan5(x) + 40 tan3(x) + 16 tan(x)

d5y/dx5 = 120 tan4(x)(dy/dx) + 120 tan2(x)(dy/dx) + 16 (dy/dx)
　　　　　　　= 120 tan6(x) + 240 tan4(x) + 136 tan2(x) + 16

微分はこんな感じになるはずです（多分）。
（tan(x) のn乗) × (tan(x) の微分) の形で全ての項を表すと少し楽です。
それぞれの 0 近傍での値は定数項の値となりますから、

y(0) = d2y/dx4(0) = d4y/dx4(0) = 0
　　dy/dx(0) = 1,　d3y/dx3(0) = 2,　d5y/dx5(0) = 16

よって、

y(x) = dy/dx(0) x + (1/3!) d3y/dx3(0) x3 + (1/5!) d5y/dx5(0) x5
　　　　　= x + (1/3) x3 + (2/15) x5

となります。

hugen · Answer

y ' =1+y^2
y=a1x+a3x^3+a5x^5+・・     と　置くと
a1+3a3x^2+5a5x^4+・・＝1+(a1x+a3x^3+・・)(a1x+a3x^3+・・)
a1+3a3x^2+5a5x^4+・・＝1+a1a1x^2+(a1a3+a3a1)x^4+・・
a1=1
3a3=a1a1
5a5=a1a3+a3a1

info22_ · Answer

根気良くtanxのn回微分(n=1,2,3,4,5)をしてx=0とおいて
マクローリン展開の公式に代入すれば良いでしょう。

tanxのn回微分公式については
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1126092741
を参照下さい。

5階微分までですから地道に計算すれば良いでしょう。

f(x)=tan(x)
f(0)=tan(0)=0
f'(x)=1+tan^2(x)
f'(0)=1
f''(x)=2tan(x){1+tan^2(x)}
f''(0)=0
f'''(x)=2{1+tan^2(x)}^2+4tan^2(x){1+tan^2(x)}
       =6tan^4(x)+8tan^2(x)+2
f'''(0)=2
f''''(x)=8{3tan^3(x)+2tan(x)}{1+tan^2(x)}
        =8{3tan^5(x)+5tan^3(x)+2tan(x)}
f''''(0)=0
f'''''(x)=8{15tan^4(x)+15tan^2(x)+2}{1+tan^2(x)}
f'''''(0)=16

従って
f(x)=x+(2/3!)x^3 +(16/5!)x^5 +...
    =x +(1/3)x^3 +(2/15)x^5) +...

ZET235711 · Answer

求めたいものは，
ｆ（ｘ）＝ｆ（０）＋｛ｆ’（０）ｘ｝／１！　＋｛ｆ’’（０）ｘ＾２｝／２！　＋｛ｆ’’’（０）ｘ＾３｝／３！
＋｛ｆ’’’’（０）ｘ＾４｝／４！　＋｛ｆ’’’’’（０）ｘ＾５｝／５！
これですよね．

====================================================

ｆ（θ）＝tanθとする．

ｆ（θ）＝tanθ
ｆ（０）＝０
ｆ’（θ）＝1/(cosθ)^2
ｆ’（０）＝１

ｆ''（θ）＝｛0＊(cosθ)^2-1*2*cosθ(-sinθ)｝/(cosθ)^4
＝ーsin2θ/(cosθ)^4
ｆ''（０）＝０

f ''' (θ)＝｛－2cos2θ(cosθ)^4＋sin２θ＊４(cosθ)^３（-sinθ）　｝/(cosθ)^８
f ''' (０)＝｛－2＊１＋０　｝/１＝－２
あとは，自分でやってください．
何も力は付きませんよ．

マクローリン展開について

y ' =1+y^2

こんにちは。

根気良くtanxのn回微分(n=1,2,3,4,5)をしてx=0とおいて

求めたいものは，

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