物理学-慣性モーメント

この問題の解き方、過程を教えて下さい。

下図の段付き軸が軸心に対し垂直な軸y'の
回りを回転するとき、　(1)慣性モーメントが最小になるy'の位置
と、　(2)Iy'を求めよ。鋼の密度を7860kg/m^3 とする。
答え・・・y'軸はy軸より200mm, Iy'=661 kg cm^2

＜自分の解いたやりかた＞
(1)はやり方がわからなかったので(2)については
(1)の答え「y'軸はy軸より200mm」を利用
２つに分けて考え、左側を１、右側を２とする。
こたえがkg cm^2なのでcmで計算する。
R1 = 2.5cm、R2 = 5.0cm
L1 = 20cm、L2 = 10cm

１について
Iy1'=(m1(3*R1^2 + 4*L1^2))/2= 2499 kg cm^2
２について
Iy2'=(m2(3*R2^2 + 4*L2^2))/2 = 1466 kg cm^2
したがってIy' = Iy1' + Iy2'

No.2 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2011/12/10 19:17

断面は円だと思うので、円板の面内の慣性モーメントがMa^2/4であることを利用すればすぐに出ますよ。

軸に沿ってにx軸を取りy軸に平行にdxの巾でスライスするとその円板の質量は密度をρとしてρπa^2dxなので、この円板の重心まわりの慣性モーメントが

(ρπa^2dx) a^2 / 4

y軸のところをx=0とし、円板の位置をx、y'軸の位置をx'とするとこの円板と回転軸は距離|x-x'|だけ離れていることになるので、平行軸の定理を使ってy'軸まわりの慣性モーメントは

(ρπa^2dx) a^2 / 4 + (ρπa^2dx) (x-x')^2

これをx=0からx=300まで積分しますが、軸の直径がx=200mmで変化しているのでa1=25mm, a2=50mmとして

I = ∫[0->200mm] [ (ρπa1^2 / 4)dx + (ρπa1^2) (x-x')^2 dx ]
+ ∫[200mm->300mm] [ (ρπ a2^2 / 4)dx + (ρπa2^2) (x-x')^2 dx ]

単位を適宜揃えてこの積分を実行してx'に付いて微分すれば極値を取るx'が決まります。
極値のx'が決まれば、この積分の結果に代入すれば慣性モーメントが求められます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
解き方が分かりました。

お礼日時：2011/12/15 21:18

No.3 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2011/12/10 19:21

積分の式が間違っていました。

以下に訂正してください

I = ∫[0->200mm] [ (ρπa1^4 / 4) dx + (ρπa1^2) (x-x')^2 dx ]
+ ∫[200mm->300mm] [ (ρπ a2^4 / 4)dx + (ρπa2^2) (x-x')^2 dx ]

No.1 回答者： poizom19 回答日時： 2011/12/10 18:07

質量の分布が均一という前提だと思うので軸の垂直方向の分布を考慮した積分を行う必要があると思うのですが。