圧力に関して素朴な疑問

圧力に関して素朴な疑問。
ふと思いついたのでご一考ください。

１、
無重力下で、球状の器の中にボールがあるとします。
※器の中は真空、最初は完全に静止している。

２、
外からの力がかからなければ、ボールと器は互いの引力により、
最初の状態からもっとも近い部分で接触すると思われます。

３、
今度は器に空気を入れます。
この場合、ボールには引力の他に空気の圧力がかかると思いますが、
その大きさは上下にある空気の量で異なり、(1)と(2)のように差が生じるでしょうか？
※他の分は相殺されると考えています。

４、
結果として引力と圧力により、器とボールが接触するまでにかかる時間は短くなるでしょうか？　

圧力は物体に対しあらゆる方向からかかる、と習った気はするのですが、圧力をかけているモノ自体が多い方から、より大きな力を受けるのが自然な気がします。
この解釈は間違っているでしょうか？

No.11 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/12/22 18:56

#10のものです。

途中で計算を間違い。修正します。
>r:1nm～10nmにある分子から受ける力の大きさ：∫[10^(-9)～10^(-8)]4πan*r^(-7)dr=(2/3)πan*{10^54-10^48]
>r:1mm～にある分子すべてから受ける力の大きさの和：∫[10^(-3)～∞]4πan*r^(-7)dr=(2/3)πan*(10^18)

これは
r:1nm～10nmにある分子から受ける力の大きさ：∫[10^(-9)～10^(-8)]4πan*r^(-5)dr=πan*{10^36-10^32]
r:1mm～にある分子すべてから受ける力の大きさの和：∫[10^(-3)～∞]4πan*r^(-5)dr=πan*(10^12)

比をとると約10^(24),24桁の違いですね。さすがに#10の計算は差が大きすぎ。まあ、それでも微々たるものであることは明らかだが。

この回答へのお礼

再考までしていただいて、ご苦労をおかけします。
正直計算部分までは把握しきれておらず、説明の筋に納得していたのですが、正確な計算技術は必要ですな、やはり。微分積分で数学は挫折しましたが、機会を作って勉強し直してみます。

自分は感覚的にしか判断できないタイプですが、数学の知識がある人なら別の視点からも過去の法則なんかを再検証できそうですね。正直、数式の書かれてる専門書なんかは雰囲気だけで正しいんだと思わされるところがありますがｗ　綿密に思考してみれば新しい発見がありそうな気がします。

お礼日時：2011/12/23 09:47

No.10 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/12/22 17:27

#9のものです。

もう少しお付き合いしましょう。

>調べているうちに分子動力学とかモンテカルロ法とかに行き着きましたが、近傍でない対象は影響小としてカットしているようですね。

これは、近傍でない分子の影響の大きさを無条件でカットしているのではなく、その影響の大きさを大きく見積もってもほとんど影響を与えないことを確認したうえで無視しているのです。

気体分子から受ける力は
・電磁的な力
・重力
この2種類といってよいでしょう。圧力のもととなる分子の衝突時に受ける力は"電磁的な力"となります。

重力の影響は#8で議論したようにスケールが大きくなれば無視できなくなります。大気圧程度の常温の空気でも中心からの位置が1kmくらいになれば測定可能なレベルの力にはなる可能性があります。

問題は分子から受ける電磁的な力です。
ここでちょっと考えてほしいのですが、気体の分子は電気的に中性ですよね。つまり、電気的な力はほとんど及ぼすことはないはずです。実際には分子内の電荷の偏りの影響で少しだけ影響はあるのですが、距離が遠くなるに従い急速に減少し、力の大きさとしては距離の7乗に反比例するとみなしてよいことがそれなりの本などに記載されています。
空間をいくら大きくして、影響を与える分子の数を大きくしても、分子数の増大する効果よりも距離が増えることでの力の減衰のほうがはるかに大きくなります。
具体的に計算してみましょう。
物体から1nm～10nmにある分子からの影響と1mm以上離れた気体からの影響の大きさを比較してみましょう。
ここでは影響の大きさを大きく見積もるため、すべての相互作用が同じ方向に働き、単純に足し算できるとして計算しましょう。

単に体積内の分子数をn個としましょう。r:r～r+drの領域内の分子からの影響は次の計算で求められます。
r～r+drにある分子の個数：4πr^2*dr*n
1個の分子の与える力の大きさ：a*r^(-7)
r～r+drにある分子すべてが与える力の大きさの和：4πan*r^(-5)*dr
r:1nm～10nmにある分子から受ける力の大きさ：∫[10^(-9)～10^(-8)]4πan*r^(-7)dr=(2/3)πan*{10^54-10^48]
r:1mm～にある分子すべてから受ける力の大きさの和：∫[10^(-3)～∞]4πan*r^(-7)dr=(2/3)πan*(10^18)

無限の距離までの分子をすべて集めてきても、その影響は36桁も小さいのです!!
つまり、スケールの影響など全くない、離れた位置にある分子の影響など無視して差し支えないとしているのです。

この回答へのお礼

丁寧に考えていただき恐縮です。
なるほど、シミュレートでカットしているのは電磁的な力なのですね。字面に惑わされて衝突作用全般だと思っていました。やはり素人判断は危ういものです。
やはり高圧重分子での状況を考えていきたくありますが、今度はまた別種の作用も考えないといけなくなりそうな気もしますな。エネルギーが高い場合は分子の振る舞いも変わってきそうだし、物体側の振る舞いも複雑になりそうだし。いよいよ実際に実験してみたくなります。

色々と迷走しているうちに別の解釈を思いつきました。
前提というか条件が必然的に均一な圧力下なわけですが、
空気中に物体がある、という状況は圧力的に不均一な状態と見なせませんかね？
まぁ、だとするとどのようになるかはイマイチ想像つかないのですが。

お礼日時：2011/12/22 19:21

No.9 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/12/22 10:23

>しかし、距離が離れるほど衝突の確率は下がるけど、確率がゼロにならない限り、微小でも力がかかる気がどうしてもします。

例えば、球殻にごく近い部分にボールがある場合、ボール近傍の分子の影響は相殺されるけど、さらに隣接する分子ならまったく衝突しないということはないのではないか、と。

圧力、というものは非常に短い時間にかかる力の平均であり、時間がたってから衝突するような分子は全く影響を及ぼしません。そういう意味で物体近傍の分子だけを考えればよいのです。
物体から離れた距離にある分子の影響は時間がたってから表れますが、その影響はもともと分子があった方向からかかるとは限りません。他の分子と衝突してしまい、ある程度時間がたつと均質化されてしまい元の位置など関係なくなってしまいます。

>ネットにしろ図書にしろ、圧力自体の説明や圧力の影響に関しては簡単に見つかるのですが、圧力下における物体自身の運動というものは触れているものが見つけられないんですよね。

これはむしろ流体力学やブラウン運動などが関係する分野でしょう。そちら方面から調べてみるとよいのではないでしょうか。

この回答へのお礼

考えているうちに、理想球殻であるなら無限長の空間と同義になるのかな、などとも思えてきました。それでも納得しきれていないのが悩ましいところですが。スパッと実験できればいいんですがね。
調べているうちに分子動力学とかモンテカルロ法とかに行き着きましたが、近傍でない対象は影響小としてカットしているようですね。演算に莫大な手間がかかるとかで。流し読みでほとんど理解できていないため間違っているかもしれませんが、これは素人が軽く調べられる領域を越えているなぁ。世界一のスパコンとやらで計算してみてほしいところです。

お礼日時：2011/12/22 16:19

No.8 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/12/21 23:52

#6のものです。

>自分が引っかかっているのはまさにここです。
>これが「表面近傍でない分子の影響はまったく受けない」なのか「表面近傍でない分子の影響は無視できるほど小さい」なのかということです。
>前者であるなら遮蔽されているわけでもないのに影響０ということがどうにも納得できず、後者ならば無重力下であるなら微小な影響でも物体を動かし得るのではないかと思うわけです。

なるほど。かなり小さな影響の有無についても知りたいわけですね。

まず、圧力という意味での力は近傍の分子からしか受けないと考えてもよいでしょう。
圧力とは物体が気体分子からの衝突で受ける力ですので、もともと衝突しないものについては力そのものを受けないのです。衝突しない分子の影響などありません。間接的に受けると思うかもしれませんが、その影響は均一に拡散されてしまい、全方位から同じように受けるだけです。

離れた気体分子の影響として考えられるのは気体から受ける重力です。
これは気体の密度とスケールに依存します。

普通の大気と同程度の密度の空気が詰まっているとして、物体が中心から10m離れた点に置かれているとしましょう。このとき、物体よりも中心からの距離の近い領域にある気体の質量は約4000kg程度となります。(物体よりも中心から遠い気体の重力は打ち消しあい"0"になります。計算は球殻からの重力の計算とまったく同じ)
物体にかかる気体からの重力は、10m離れた位置にある質量4000kgの塊から受ける引力と同じ大きさになります。
この塊から受ける引力による加速度の大きさaは
a=GM/r^2≒2.7×10^(-9)m/s^2
となります。地球上での重力加速度の四十億分の1よりも少し大きい程度でしょうか。1日(=86400s)待って2.5×10^(-4)m/sまで加速する程度の加速度です。(実際には中心に行くにつれて重力が弱くなるため加速度もだんだん小さくなるためこれよりも小さい値になるでしょう) 十分測定できる大きさにはなりそうです。この力は中心からの距離に比例するため、物体は単振動をします(空気抵抗を無視すれば、の話ですが)。周期は2-3週間程度かな。(計算はしていません。)

実際には空気の揺らぎの影響を考慮しないといけません。ここら辺は"ブラウン運動"や"アインシュタインの関係式"などのキーワードで検索してみるとヒントが得られるでしょう。

この回答へのお礼

なるほど、近傍以外の分子の影響は極めて小さく、別種の運動に転化されてしまう、という感じでしょうか。
しかし、距離が離れるほど衝突の確率は下がるけど、確率がゼロにならない限り、微小でも力がかかる気がどうしてもします。例えば、球殻にごく近い部分にボールがある場合、ボール近傍の分子の影響は相殺されるけど、さらに隣接する分子ならまったく衝突しないということはないのではないか、と。
球殻内の気圧（？）を超高圧にするとか、空気よりも重い気体分子をもちいるとかすれば、重力（引力？）の影響も無視できなくなるのかな。
ネットにしろ図書にしろ、圧力自体の説明や圧力の影響に関しては簡単に見つかるのですが、圧力下における物体自身の運動というものは触れているものが見つけられないんですよね。そういう分野はあまり研究されていないのか、関心がニッチすぎるのか。力学とかの数式にまで踏みこまないとダメですかね。

お礼日時：2011/12/22 07:22

No.7 回答者： komaas88 回答日時： 2011/12/21 10:17

NO.2です。

ボールの周囲の気体の圧力は、たとえばぎっしりと細かいビーズ（気体分子）のなかに埋まった巨大なボールを考えれば近いと思います。周囲から均等に圧力を受けています。
この力の他に、このボールの質量と周囲に近接する壁との間に引力がかかるはずですが、質量で発生する重力そのものは極めて微弱なので、この場合ボールが近辺へ動き出すことができるかどうか（気体の密度により）は微妙ですね。むしろ気体分子が持つ温度活性の運動力で不均衡にボールが押されて、予想できない方向へ動き出す可能性も排除できないと思います。

この回答へのお礼

自分も同様の状況をイメージしました。さらに振動を加えれば疑似的な実験になるのではないかと。この場合、確かにボールの移動は不確定になりそうです。
しかし、外部からの振動では移動方向がランダムであり、基本的に直進を続ける分子運動とは違ってくる気もします。
自分は、タライ（球殻）の中に直進を続けるビリヤードの玉がいくつかあり（気体分子）、ここに桶（ボール）を置く形を想定しました。桶（ボール）の移動はゆっくりながらもいずれはタライに押しつけられると思うのですが、どうなのでしょう。
シミュレータとか作れればいいんですけどね。

お礼日時：2011/12/21 18:13

No.6 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/12/21 03:58

#4のものです。

無重力の条件の下でお答えします。

重力がまったくない状態だと気体の圧力はどこでも同じ大きさになります。
もし圧力が場所ごとに違うのであれば、物体が動く以前に気体そのものが動きます。気体も圧力が高いほうから低いほうに流れるのです。そして圧力が全体に一様になるまで空気が動きます。

物体に力を加えるのは物体の表面近傍の気体分子だけであり、離れた場所にある気体から力を直接受けることはありません。物体の位置の異方性が物体にかかる力の大きさを規定することはありません。

この回答へのお礼

＞物体に力を加えるのは物体の表面近傍の気体分子だけであり、離れた場所にある気体から力を直接受けることはありません。物体の位置の異方性が物体にかかる力の大きさを規定することはありません。

自分が引っかかっているのはまさにここです。
これが「表面近傍でない分子の影響はまったく受けない」なのか「表面近傍でない分子の影響は無視できるほど小さい」なのかということです。
前者であるなら遮蔽されているわけでもないのに影響０ということがどうにも納得できず、後者ならば無重力下であるなら微小な影響でも物体を動かし得るのではないかと思うわけです。
前者の内容は便宜的なものではなく、観測や実験により確認されたものなのでしょうか？

お礼日時：2011/12/21 18:11

No.5 回答者： Hayashi_Trek 回答日時： 2011/12/20 20:28

一様な球殻であれば内部は無重量状態になるので、内部に空気を入れても圧力差は生まれません。

（圧力差が生じるには重力が必要）
（国際宇宙ステーションの内部は無重量状態なので、中心部にいる時と端っこの区画に移動した時の気圧は同じです。）
したがって３も４もボールは動かないので無意味です。

この回答へのお礼

やはりそうなりますかね。
自分も学校知識を動員すればそうなるだろうとは思うのですが、
どうも圧力が均等にかかる、という部分の認識が
きちんとできていないようです。
もう少し専門的な本でも読んで勉強し直してみます。

圧力に関するよい参考書、分子の運動と絡めているようなものを
知っている方がいたら教えてくださいませ。

お礼日時：2011/12/21 00:18

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/12/20 12:05

#1のものです。

お礼にある質問に対して。
>浮力が生じるとは考えが及びませんでした。球殻が理想球だとしても生じるものですか？　

無重力下では浮力は発生しません。
#1で述べたとおり、浮力の発生原因は重力があることによる気体(液体)の圧力に生じる勾配です。下(重力がかかる方向)に行くに従い上の気体(液体)の重さを気体(液体)が支えることになるため下に行くほど圧力が大きくなるのです。
質問者の図では3.の(1)と(2)の圧力を比べるとわずかならが(1)のほうが大きくなるのです。(球殻が不均一で上向きに重力がかかる場合)

>無重力下の場合、浮力は移動方向に対する抵抗になる、ということでしょうか？　いや、２が間違っているのだから、移動自体が起こらなくなるのかな？

浮力と抵抗は異なります。浮力は運動の向きとは関係なく重力と反対向きに働きます。
もし、球殻が一様ですと重力がゼロになるため浮力もゼロになります。

この回答へのお礼

ううん、図がよくなかったかな。
３、も無重力下であり、球殻は理想球であるつもりでした。
この場合はどうなりますか？
２、の状態でボールと球殻が引き合わないのだから、初期状態からボールが自発的に動くことはなく、上下の空気の総量がおよぼす圧力差は(2)からの方が大きくなるので、結果的に上に向かうのではないか、というのが自分の解釈なのですが。
なぜ空気量の少ない(1)側からの圧力の方が大きくなるのでしょう？

お礼日時：2011/12/20 17:44

No.3 回答者： Gotthold 回答日時： 2011/12/19 22:52

> 外からの力がかからなければ、ボールと器は互いの引力により、

> 最初の状態からもっとも近い部分で接触すると思われます。
均質な素材で完全な球であれば内部は重力がない状態になるので
そんなことは起こりません。
（物理の問題とかでよく見る問いです。）


> 圧力は物体に対しあらゆる方向からかかる、と習った気はするのですが、
> 圧力をかけているモノ自体が多い方から、より大きな力を受けるのが自然な気がします。
> この解釈は間違っているでしょうか？
例えば、プールで端の方にいると、真ん中側の方に水がたくさんあることになりますが、
プールの端に向かって押しつけられたりしますか？

この回答へのお礼

プールの場合、もしかしたらかかっているかもしれない、と思っています。重力に対して小さすぎて感じられないのではないかと。
自分も実体験だとこんなことを意識することはないんですが、無重力や自身の引力が影響を与えるような環境下の場合、圧力がどのように働くのかがわからないのです。
圧力の実態がよくわかっていない、といえるかも知れません。
気体の圧力って原子の衝突の総和でいいんですかね？

お礼日時：2011/12/20 01:46

No.2 回答者： komaas88 回答日時： 2011/12/19 22:49

むしろ遅くなります。

空気の層の厚さは圧力とは無関係です。
上下関係はありません。
周囲に均等に圧力がかかります。

動いていくのは同じですが、
空気の抵抗で速度が遅くなります。

この回答へのお礼

水圧は深度に対する頭上の水量、大気圧も上にしている大気量によるのではありませんでしたっけ？　地球上だからか？
無重力下の場合、気体の分子からかかる力の総和が圧力としてボールにかかるのではないかと考え、ならば正対する側の総量になるなと思ったのですが、違うのかな？　このへんの認識が曖昧なので困っています。

お礼日時：2011/12/20 01:43