異なる指数の累乗の計算

以下の式でkを求める方法がわかりません。

4900 = (250/1+k) + {250/(1+k)^2} + {5250/(1+k)^3}
k = 0.575

となっているのですが、途中式がないため、どう計算したらこの結果になるのか
わかる方がいましたら教えていただけますでしょうか。
分母を1+kに統一するのかと思い、右二つの分子を平方根と三乗根にしてみましたが、同じ答えになりませんでした。

No.1 回答者： banakona 回答日時： 2011/12/24 21:00

式を写し間違えていませんか。

ｋ＝０．５７５を　4900 = 250/（1+k) + {250/(1+k)^2} + {5250/(1+k)^3}

に代入しても成立しません。

※(250/1+k) は250/（1+k)の間違いとして計算した。でも250/1+k　つまり２５０＋ｋだとしても成立しない。

ちなみに解き方としては、1/(1+k)＝ｘなどと置けばｘの3次方程式になるので、これをｘについて解いて、あとでｋに戻せば解ける。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/12/24 21:21

4900 = {250/(1+k)} + {250/(1+k)^2} + {5250/(1+k)^3}…(1)

にk = 0.575を代入しても成り立たないですから間違いです。
k=0.0575なら近似値と言えないことはないです。

解き方
(1)の両辺に{(1+k)^3}/50を掛けると
98(1+k)^3-5(1+k)^2-5(1+k)-105=0
x=1+kとおくと
98x^3-5x^2-5x-105=0
この実数解をニュートン法などの数値計算法を用いて求めると
f(x)=98x^3-5x^2-5x-105

とおいて 初期値x0=1としてニュートン法（高校の数学で習うかと思います。ネット検索でも沢山ヒットします）で数値計算をすると
この初期値x0はy=f(x)の概形のフラフから求めます。

x=1.0574468791248139983383575950567960516920239609228…
と求まります。x=1+kからkを求めると
k=0.0574468791248139983383575950567960516920239609228…
と得られます。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
(1+k)をxに置き換えれば良い話だったのですね。
解決しました。

お礼日時：2011/12/24 23:51