sinΘ+cosΘ=1/3のときの sin三乗Θ+cos三乗Θの値の解き方と答えが分かりません。

もし、分かる方がいらっしゃいましたら、教えて下さい。

お願いします。

A 回答 (3件)

よく知っている公式sin二乗Θ+cos二乗Θ=1も使いましょう。


簡単にするために、sinΘ=x cosΘ=y とします。
問題はx+y=1/3の時にx^3+y^3を求めることになります。
使う公式はx^2+y^2=1です。
三乗が欲しいのでまずx+yを三乗します。
(x+y)^3=(x^2+y^2+2xy)(x+y)=x^3+y^3+3xy^2+3yx^2ですから、移項して
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)・・・・・(ア)になります。
ここでxyを求めるために公式x^2+y^2=1を使います。
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=1+2xyですから、xy={(x+y)^2-1}/2になり、
x+y=1/3を代入してxy={(1/3)^2-1}/2=(1/9-1)/2=(-8/9)/2=-4/9に
なります。この値とx+y=1/3を(ア)式に代入して
x^3+y^3=(1/3)^3-3*(-4/9)*(1/3)=1/27+4/9=13/27
よってsin三乗Θ+cos三乗Θ=13/27となります。
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この回答へのお礼

詳しくありがとうございます。分かりました。ありがとうございます。

お礼日時:2011/12/31 13:42

答え:13/27だと思います。



解き方:x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)という因数分解の公式を利用します。この問題の場合はx+yの値が分かっているし、三角関数だからx^2+y^2=1ということも分かっています。なのでxyの値さえ分かればおしまいです。

まずsinΘ+cosΘ=1/3の両辺を二乗する。すなわち
(sinΘ+cosΘ)^2=sin二乗Θ+cos二乗Θ+2sinΘcosΘ=1+2sinΘcosΘ=1/9
となるので、sinΘcosΘ=-4/9…(1)である。

次にx^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)だから
sin三乗Θ+cos三乗Θ=(sinΘ+cosΘ)(sin二乗Θ+cos二乗Θ-sinΘcosΘ)=(sinΘ+cosΘ)(1-sinΘcosΘ)…(2)
(2)式の右辺にsinΘ+cosΘ=1/3とsinΘcosΘ=-4/9を代入する。つまり
(sinΘ+cosΘ)(1-sinΘcosΘ)=1/3×(1+4/9)=13/27
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この回答へのお礼

分かりました。ありがとうございます。

お礼日時:2011/12/31 08:23

>sinΘ+cosΘ=1/3のときの sin三乗Θ+cos三乗Θの値の解き方と答えが分かりません。



まず、(sinΘ+cosΘ)^2=(1/3)^2 を計算して、sinΘcosΘ の値を求めて下さい。

次に、公式a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)を使って
sin三乗Θ+cos三乗Θの値を求めて下さい。

まだ計算していませんが、これで求められると思います。
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>0≦Θ≦2πのとき、次の方程式を満たすΘの値を求めよ。で、2cos二乗Θ+3sinΘ-3=0を解け。

2cos二乗Θ+3sinΘ-3=0
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ここで、X=sinΘ とおくと、0≦Θ≦2πより、-1≦X≦1
2X^2-3X+1=0
(2X-1)(x-1)=0

X=1/2,1どちらもXの範囲にあるので、解にできます。

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ここではXY軸で例にとりましたが、高校で教わってきた数学では実数空間しか扱っていません。
オイラーの公式では虚数空間を扱い、この空間の中では一般的にXY軸ではなく、実数-虚数軸になります。

オイラーの公式ではXY空間で扱っていたY軸(縦軸)方向を虚数軸と見立てているので、あのように「i」が非対称に付くのです。
実数軸から90度回転するとなんで虚数軸と一致するのかと言われると、そう考えると都合が良いから、ということになります。
ですので、横軸を虚数軸方向と仮定してicosθ+sinθとして公式を活用することも出来ます。
その代わり、θの基点等も併せて考えないとならないでしょう。

QX+y=√5 ,xy=1のときの次の式の値を求めよ。 1) x2+y2 2) 1/x + 1/

X+y=√5 ,xy=1のときの次の式の値を求めよ。

1) x2+y2

2) 1/x + 1/y

3)x3 +y3

お時間ございましたら
解き方教えて下さい(_ _)

Aベストアンサー

1) x^2+y^2
=x^2+2xy+y^2-2xy
=(x+y)^2-2xy
=(√5)^2-2×1
=5-2=3

2) 1/x + 1/y
=y/xy+x/xy=y+x=√5

3)x^3+y^3
=(x+y)(x^2–xy+y^2) ← この変形は公式?をそのまま使う
2つ目の()内は1)の値を使う
=√5(3-1)=2√5


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