sinΘ+cosΘ=1/3のときの sin三乗Θ+cos三乗Θの値の解き方と答えが分かりません。

もし、分かる方がいらっしゃいましたら、教えて下さい。

お願いします。

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A 回答 (3件)

よく知っている公式sin二乗Θ+cos二乗Θ=1も使いましょう。


簡単にするために、sinΘ=x cosΘ=y とします。
問題はx+y=1/3の時にx^3+y^3を求めることになります。
使う公式はx^2+y^2=1です。
三乗が欲しいのでまずx+yを三乗します。
(x+y)^3=(x^2+y^2+2xy)(x+y)=x^3+y^3+3xy^2+3yx^2ですから、移項して
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)・・・・・(ア)になります。
ここでxyを求めるために公式x^2+y^2=1を使います。
(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=1+2xyですから、xy={(x+y)^2-1}/2になり、
x+y=1/3を代入してxy={(1/3)^2-1}/2=(1/9-1)/2=(-8/9)/2=-4/9に
なります。この値とx+y=1/3を(ア)式に代入して
x^3+y^3=(1/3)^3-3*(-4/9)*(1/3)=1/27+4/9=13/27
よってsin三乗Θ+cos三乗Θ=13/27となります。
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この回答へのお礼

詳しくありがとうございます。分かりました。ありがとうございます。

お礼日時:2011/12/31 13:42

答え:13/27だと思います。



解き方:x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)という因数分解の公式を利用します。この問題の場合はx+yの値が分かっているし、三角関数だからx^2+y^2=1ということも分かっています。なのでxyの値さえ分かればおしまいです。

まずsinΘ+cosΘ=1/3の両辺を二乗する。すなわち
(sinΘ+cosΘ)^2=sin二乗Θ+cos二乗Θ+2sinΘcosΘ=1+2sinΘcosΘ=1/9
となるので、sinΘcosΘ=-4/9…(1)である。

次にx^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)だから
sin三乗Θ+cos三乗Θ=(sinΘ+cosΘ)(sin二乗Θ+cos二乗Θ-sinΘcosΘ)=(sinΘ+cosΘ)(1-sinΘcosΘ)…(2)
(2)式の右辺にsinΘ+cosΘ=1/3とsinΘcosΘ=-4/9を代入する。つまり
(sinΘ+cosΘ)(1-sinΘcosΘ)=1/3×(1+4/9)=13/27
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この回答へのお礼

分かりました。ありがとうございます。

お礼日時:2011/12/31 08:23

>sinΘ+cosΘ=1/3のときの sin三乗Θ+cos三乗Θの値の解き方と答えが分かりません。



まず、(sinΘ+cosΘ)^2=(1/3)^2 を計算して、sinΘcosΘ の値を求めて下さい。

次に、公式a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)を使って
sin三乗Θ+cos三乗Θの値を求めて下さい。

まだ計算していませんが、これで求められると思います。
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sinx=cosxの解き方が分かりません。どうぞ、教えてください。

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を解く、というのはどうでしょう。
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なお cosx=0 となるときsinx≠0 ですね。

Q東大の理1と理2の違いは?

僕は次から高1になるのですが、大学は東大の理系を考えています。
理3が医学部だということは分かっている(し、行く気はない)のですが、
理1と理2の違いがあまりはっきりしません。
学部進学の際、どのように振り分けられるのですか?
できれば具体的な人数なんかのデータがあればいいのですが・・・。

Aベストアンサー

>工学が1、農学が2、理学部ではそんな変わんないって感じでしょうか。

理学部はひとくくりにできませんよ。
物理学科、数学科などは理1優勢ですし、化学科だと同じくらい、生物学科なら少し理2優勢といった感じです。
#2で示した集計表のとおりです。
細かいこと言い出すと、工学、農学も学科によって色合いがかなり異なりますよ。

大まかなことを言えば、#2の文中に示した進学振り分けについての資料にありますが、
理科一類 工学部・理学部・薬学部・農学部
理科二類 農学部・理学部・薬学部・医学部・工学部
↑は、それなりに人数比率も反映した順番になっていて、理1なら工・理が大部分を占めるし、理2なら農・理・薬が大部分を占めます。

ここまでいろいろ書きましたが、どちらかというと、momomoredさんには#2の集計表とにらめっこしてほしくありません。
むしろ、大学側からの「進学のためのガイダンス」(http://www.u-tokyo.ac.jp/stu03/guidance/H16_html/index.html)や、#2の進学振り分けの資料の中の各学部の紹介とか、あるいは、各学部のホームページ(学部ごとにホームページをもっています)を見て、できれば研究室のホームページまでチェックして、具体的に何がやりたいか、そしてそれをやるためには東京大学のあの研究室で学びたいんだ、ということをしっかりと意識することのほうが大切だと思います(それがなかなかできないわけですが…ハイ)。

あくまで#2の集計表とかは参考までにね。#2で書いたように、入ってから行きたくても行けない学部・学科なんてものはほとんどないですから(文転もありですよ)。
目標高く勉強のほうがんばってください。

>工学が1、農学が2、理学部ではそんな変わんないって感じでしょうか。

理学部はひとくくりにできませんよ。
物理学科、数学科などは理1優勢ですし、化学科だと同じくらい、生物学科なら少し理2優勢といった感じです。
#2で示した集計表のとおりです。
細かいこと言い出すと、工学、農学も学科によって色合いがかなり異なりますよ。

大まかなことを言えば、#2の文中に示した進学振り分けについての資料にありますが、
理科一類 工学部・理学部・薬学部・農学部
理科二類 農学部・理学部・薬学部・...続きを読む

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Q原核生物と真核生物の違い

原核生物と、真核生物の違いについて教えてください(><)
また、ウイルスはどちらかも教えていただけると嬉しいです!

Aベストアンサー

【原核生物】
核膜が無い(構造的に区別出来る核を持たない)細胞(これを原核細胞という)から成る生物で、細菌類や藍藻類がこれに属する。

【真核生物】
核膜で囲まれた明確な核を持つ細胞(これを真核細胞という)から成り、細胞分裂の時に染色体構造を生じる生物。細菌類・藍藻類以外の全ての生物。

【ウイルス】
濾過性病原体の総称。独自のDNA又はRNAを持っているが、普通ウイルスは細胞内だけで増殖可能であり、ウイルス単独では増殖出来ない。



要は、核膜が有れば真核生物、無ければ原核生物という事になります。

ウイルスはそもそも細胞でなく、従って生物でもありませんので、原核生物・真核生物の何れにも属しません(一部の学者は生物だと主張しているそうですが、細胞説の定義に反する存在なので、まだまだ議論の余地は有る様です)。



こんなんで良かったでしょうか?

Qon ~ing in ~ing の違い。

on ~ing in ~ing の違いについてなのですが、
on ~ing は、「~するやいなや」で
in ~ing は、「~しているとき」

だったような気がしますが、正しいですか?

Aベストアンサー

こんにちは。
質問者さんの記憶通りでいいと思います。

on -ing「~するやいなや」「~するとすぐに」「~と同時に」
in -ing「~しているとき」「~の動作をしている間に」

どちらも前置詞の意味を確認しておくとよいでしょう。

補足ですが、in -ingは、「~しているとき」の意味のほかに
He was right in thinking that ...「…と考えた点で彼は正しかった」
のようにも用いられます。

なお、本題からは外れますが、この-ingはどちらも動名詞です。
ただし、be interested in -ingの"in -ing"とは
区別しておいた方が整理しやすいかと思います。(←経験上。)

Q3辺の比率が3:4:5である直角三角形のそれぞれの角度は?

下辺が4、高さ3、そして対角線が5の比率を持った
直角三角形のそれぞれの角の角度を教えてください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

下辺の斜辺(対角線ではなく斜辺と呼びます)寄りの角度θは
sinθ=3/5(同時にcosθ=4/5)となる角度ですので、

Excelで
ASIN(0.6) (またはACOS(0.8) )
と打ち込んでください。
※ASINはsinの逆関数(逆算ができる)です。ACOSはcosの逆関数です。

答えは0.6435…となりますよね。
これが弧度法(半径1の円の孤の長さで表す角度の表し方)の角度です。弧度法のπ(≒3.14)は180°と等しいですから、この値に180/πをかけてください。

つまりExcelの式では
ASIN(0.6)*180/PI() (またはACOS(0.8)*180/PI() )
となります。

答えは、およそ36.87°です。

もう一つの角(底辺の対角)は、sinθ=4/5,cosθ3/5となる角度ですから同じように求まります。まあ、そこまでしなくとも、直角三角形ですから、
90°-36.87°=約53.13°
でいいです。

Qxのx乗の微分は?

ある問題を解いていると、途中の計算でxのx乗の微分を求めなければならなくなったのですが、xのx乗を微分するとどうなるのか完全に忘れてしまいました。どなたか分かる方いませんか?

Aベストアンサー

y=x^x ・・・(1)

両辺対数をとると

log y =xlogx ・・・(2)

微分すると

(1/y)y'=logx+1 ・・・(3)

y'=(logx+1)y ・・・(4)

y'=(logx+1)x^x ・・・(5)

(5)式の形だと思います。

Q階比数列??

数列で、隣接する2項の差をとったらそれが新しく等比数列になる数列は階比数列というのでしょうか?また、あるとすればこのような数列の一般項を導くことは可能でしょうか?

Aベストアンサー

隣接する2項の差をとっているので階差数列っていうんです。
階差数列が等比数列になっていてももちろん一般項は求まります。
《例題》
数列a(n):2,3,5,9,17,33,・・・ の一般項を求めよ。
《解答》
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b(n);1,2,4,8,16,・・・
となり、
b(n)=2^(n-1)
よって、
n>=2のとき
a(n)=a(1)+b(1)+b(2)+・・・+b(n-1)
=2+(2^(n-1)-1)/(2-1)
=2+2^(n-1)-1
=2^(n-1)+1
a(1)=2^0+1=2
となり初項と一致するので、
求める一般項は
a(n)=2^(n-1)+1
となる。

階差数列の和を求めることが出来ればもとの数列の一般項を求めることが出来ます。

Q分子量を物質量に変換、モル濃度の換算

モル濃度を求めるために、分子量を物質量に変換したいのですが、やり方がわかりません。
いや、大体は分かるのですが・・覚える自信がないのです。それというのも私は、「理解」しないとすぐ忘れてしまうのです・・。

物質量のことと、変換の仕方、それがモヤモヤとしてて・・
なるほど!って思えるような、説明求みます!

さらに、質量パーセント濃度からモル濃度への換算の仕方を教えてください。密度の求め方すら分からなくて・・・(恥)

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分子量というのは、1molあたり質量のことだとわかっていれば、出来ると思います。
分子量=質量(g)/物質量(mol) ということですね。

すなわち
物質量(mol)=質量(g)/分子量 と変換できます。

質量%濃度というのは、溶質の溶液に対する割合、つまり
質量%濃度=溶質の質量(g)/溶液の質量(g)×100
ということです。

密度というのは、1cm^3あたりの質量のことです。今回は溶液のことを考えていますから
溶液の密度(g/cm^3)=溶液の質量(g)/溶液の体積(cm^3)

モル濃度は、溶液1lあたりに溶けている、溶質の物質量ですから、
モル濃度(mol/l)=溶質の物質量(mol)/溶液の質量(l)
となります。

結局、公式を羅列しただけになってしまったけれども参考にしてください。

Q3次方程式の異なる3つの実数解の範囲を教えて下さい。

3次方程式X^3+(a-2)X^2-4a=0 の左辺は
(X-2)(X^2+aX+2a)と因数分解できる。よって、方程式が異なる3つの実数解をもつようなaの値の範囲は
a<-1、-1<a<0、8<aである。

という問題があるのですが、解き方がどうしてもわかりません。
詳しく教えていただける方、よろしくお願いしてます。

Aベストアンサー

解の一つは2です。こてを頭に入れて
X^2+aX+2a=0
が互いに異なる2つの実数解を持つ条件はD>0ですから
a<0,8<a・・・・(1)
このとき解の一つが2だと2が重解になってしまうので
X^2+aX+2a=0は2以外の解をもつ
調べにくいので2を解に持つときは
x=2を代入するとa=-1これを(1)から除いて
と考えます。


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