２次元極座標表示での運動方程式の証明

２次元極座標表示での運動方程式の証明をやってるのですが
rベクトルがあって
x=rcosθ
y=rsinθ
というところからスタートしてます
つまりrベクトルの先端の成分がx,yから始まっています

x=rcosθ
y=rsinθ
から

x''cosθ+y''sinθ=r''-rθ'^2=r''・er
y''cosθ-x''sinθ=2r'θ'+rθ''=r''・eθ
erはr方向の単位ベクトル　eθはそれとは垂直な方向の単位ベクトルです

まで行ってつまってしまいました

しかし最後は
Fr=m(r''-rθ'^2)
Fθ=m(2r'θ'+rθ'')
になっています

それで答えとしてはあってるみたいですが

そうなるとr''-rθ'^2と=2r'θ'+rθ''がaということになります
これはどうしてそうなるのでしょうか？




'は微分記号です

No.1 回答者： torus 回答日時： 2012/01/09 21:01

xとyの二階微分を行って、その結果を極座標で表現することを試みます。

参考URLに記したPDFファイルに、わかりやすい説明があります。

参考URL：http://www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~heki/pdf/mechan …

この回答への補足

それは分かるんですけど
なぜ
(r''-rθ'^2)と
(2r'θ'+rθ'')が
F=MAにおける
Ａに相当する部分なのかがわかりません

補足日時：2012/01/09 21:09

No.2 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2012/01/09 21:14

ベクトルそのものは座標変換で変らないので、

ex, eyを直交座標系の基底、er,eθを極座標の基底として

a〈ベクトル）= x'' ex + y'' ey = ar er + aθ eθ

ご質問ではこれのar , aθを求めて

＞x''cosθ+y''sinθ=r''-rθ'^2=r''・er
＞y''cosθ-x''sinθ=2r'θ'+rθ''=r''・eθ
〈ただし、右の等号は間違い〉

により

ar = r''-rθ'^2
aθ= 2r'θ'+rθ''

を得たのでしょう。

もう一度ご自身が何を計算したのかを振り返ってください。

No.3 回答者： yokkun831 回答日時： 2012/01/09 21:18

まず，直交座標から変換して加速度を求めたのですから，間違いなく得られたものが極座標表示による加速度なのです。

たとえば，r方向の加速度は
r''-rθ'^2
となっていますが，質量をかけて移項すればmrθ'^2が物体とともに動く座標系での遠心力になっていることがおわかりですか？　今回用いた極座標系自体は慣性系ですから，加速系で現れるはずの慣性力が左辺の加速度に組み込まれているわけです。

参考：http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/161.html

No.4 回答者： torus 回答日時： 2012/01/09 21:31

最初に回答したものです。

「なぜか」という質問に対しては、計算するとそうなるから、と言うしかありません。

そうではなくて、直観的に理解したい（数式を使わないで分かるように説明して欲しい）、という希望があるかもしれませんが、残念ながら、それを叶える回答は出てこないのではないでしょうか。1階微分までだったら、図を使って説明できるかもしれませんが、2階微分は難しいと思います。
むしろ、数式で理解した方が早いように思います。

先ほど紹介したPDFファイルにも記述があるように、極座標では運動によって位置が変わるとrの方向が変わるのに、rを座標系の基準としているため、式で表すと複雑になってしまうのです。
（これまでに扱ってきた直交座標は、たまたま移動後でも座標系が変化しないので簡単だったにすぎません）

No.5 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2012/01/10 07:11

加速度aはベクトルです。

２次元平面で考えていれば２つの成分を持っています。
直交座標系で考えれば２つの成分a1，a2が決まります。
ｘ－ｙ座標というのは固定した直交座標系です。成分はax,ayと表すことができます。
極座標というのは回転座標系ですがやはり、直交座標系です。ｒの方向（ｒの増える方向）とそれに垂直な方向（θの増える方向）の２つです。成分はar、aθになります。常に座標が直交しているという関係は維持しているのですが質点と共に回転しています。（これはもうすでに他の回答でも指摘されていることです。でも極座標に変換しても直交した２つの座標で表していることには違いはないというところが押さえられていないので不思議に思うのではないでしょうか。ｒ方向だけの一つになると思っているのではないでしょうか。）

Fr=m(r''-rθ'^2)
Fθ=m(2r'θ'+rθ'')
これは互いに直交する2つの方向についての運動方程式です。
（これを導くのを「証明」とは言いません。座標を変換して導いた表現だというだけです。）

力がｒの方向にしか働いていない場合（万有引力やクーロン力の場合）などではＦθ＝０になります。
この場合、(2r'θ'+rθ'')＝０　です。ｒをかけると(r^2θ')'＝０　になります。
r^2θ'＝一定　ということです。これはケプラーの第２法則（＝面積速度一定）と同じものです。中心力でさえあれば出てくるものですから万有引力に限りません。

円運動であるという指定があれば　ｒ＝一定　ですから　r'＝０、r"＝０です。
Fr=－mrθ'^2
Fθ=mrθ''
円の中心に向かって働く力と円周に沿っての方向に働く力の２つが存在していることが分かります。
等速円運動であるという条件があれば　θ"＝０　になりますから　Fθ＝０　になります。

（これは慣性座標系ではありません。原点がＯになっています。存在する力は向心力です。座標の原点を質点に移せば慣性座標系になります。）

この回答へのお礼

ありがとうございました
分かりました

お礼日時：2012/01/12 22:39