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No.2
- 回答日時:
与えられた連立常微分方程式を解くのは,結果的に,定数係数の2階線形常微分方程式と1階線形常微分方程式を解く事になり,計算は複雑になりますが比較的,簡単な問題です.
定数 a_1, a_2, b_1, b_2 が数式上,たいへん見にくいので,一時的に,
a_1 = α
b_1 = β
a_2 = γ
b_2 = δ
と置いてから解きます.すると,与えられた連立常微分方程式は,
x'=αx+βy ・・・(1)
y'=γx+δy ・・・(2)
と書くことが出来ます.(1)を変形して(2)に y を代入すると,
(x'-αx)/β=y
y'=γx+δ((x'-αx)/β) ・・・(3)
となります.次に,(1)の両辺を微分すると,
x''=αx'+βy'
です.この式を変形すると
(x''-αx')/β=y'
となります.この y' を(3)に代入して変形すると,
(x''-αx')/β=γx+δ((x'-αx)/β)
x''-αx'=γβx+βδ((x'-αx)/β)
x''-αx'=γβx+δ(x'-αx)
x''-αx'=γβx+δx'-αδx
x''-αx'-δx'=γβx-αδx
x''-αx'-δx'+αδx-γβx=0
x''-(α+δ)x'+(αδ-γβ)x=0 ・・・(4)
この(4)式は,x に関する定数係数の2階線形常微分方程式です.2次代数方程式
A^2-(α+δ)A+αδ-γβ=0 ・・・(5)
の根を,λ,μとすると,階線形常微分方程式(4)の一般解は,積分定数をC,Dとして,
x=Ce^(λt) + De^(μt) ・・・(6)
で与えられます.(5)の A を解くと,
A=(1/2)((α+δ)±√[(α+δ)^2 -4(αδ-γβ)])
A=(1/2)((α+δ)±√[α^2+δ^2+2αδ-4αδ+4γβ])
A=(1/2)((α+δ)±√[α^2+δ^2-2αδ+4γβ])
A=(1/2)((α+δ)±√[(α-δ)^2 +4γβ]) ・・・(7)
です.したがって,λとμは,それぞれ,
λ=(1/2)((α+δ)+√[(α-δ)^2 +4γβ]) ・・・(8)
μ=(1/2)((α+δ)-√[(α-δ)^2 +4γβ]) ・・・(9)
となります.(6)と(8)と(9)で,関数 x(t) が与えられます.
もし,(7)の A が, (α-δ)^2 +4γβ=0 となる等根の場合は,
A=(α+δ)/2
x=e^(At)[C+Dt] ・・・(6)
が一般解です.
次に,関数 y(t) を求めるには,(6)の関数 x(t) を(2)式:
y'=γx+δy に入れて,
y'-δy=γx(t) ・・・(10)
を解く事になります.この(10)は,1階線形常微分方程式で,解を与える公式が知られていますから,それを使って解いてみて下さい.
No.1
- 回答日時:
係数行列a1,a2,b1,b2の固有値λ1,λ2および固有ベクトルv1,v2を求めます。
C1*exp(λ1*t)*V1+C2*exp(λ2*t)*V2が答です(C1,C2は初期値から決まる定数)。
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