連立常微分方程式に関する質問です。

x,yをtを変数とする関数とする。
x'=a_1x+b_1y
y'=a_2x+b_2y
を解け。
ただし、a_1,a_2,b_1,b_2は定数。

よろしくお願いします。

No.2 回答者： Knotopolog 回答日時： 2012/01/25 17:29

与えられた連立常微分方程式を解くのは，結果的に，定数係数の２階線形常微分方程式と１階線形常微分方程式を解く事になり，計算は複雑になりますが比較的，簡単な問題です．

定数 a_1, a_2, b_1, b_2 が数式上，たいへん見にくいので，一時的に，

a_1 ＝ α
b_1 ＝ β

a_2 ＝ γ
b_2 ＝ δ

と置いてから解きます．すると，与えられた連立常微分方程式は，

x'＝αx＋βy　　・・・（１）
y'＝γx＋δy　　・・・（２）

と書くことが出来ます．（１）を変形して（２）に y を代入すると，

(x'－αx)/β＝y
y'＝γx＋δ((x'－αx)/β)　　・・・（３）

となります．次に，（１）の両辺を微分すると，

x''＝αx'＋βy'

です．この式を変形すると

(x''－αx')/β＝y'

となります．この y' を（３）に代入して変形すると，

(x''－αx')/β＝γx＋δ((x'－αx)/β)

x''－αx'＝γβx＋βδ((x'－αx)/β)

x''－αx'＝γβx＋δ(x'－αx)

x''－αx'＝γβx＋δx'－αδx

x''－αx'－δx'＝γβx－αδx

x''－αx'－δx'＋αδx－γβx＝0

x''－(α＋δ)x'＋(αδ－γβ)x＝0　　・・・（４）

この（４）式は，x に関する定数係数の２階線形常微分方程式です．２次代数方程式

A^2－(α＋δ)A＋αδ－γβ＝0　　・・・（５）

の根を，λ，μとすると，階線形常微分方程式（４）の一般解は，積分定数をＣ，Ｄとして，

x＝Ｃe^(λt) ＋ Ｄe^(μt)　　・・・（６）

で与えられます．（５）の A を解くと，

A＝(1/2)((α＋δ)±√[(α＋δ)^2 －４(αδ－γβ)])
A＝(1/2)((α＋δ)±√[α^2＋δ^2＋２αδ－４αδ＋４γβ])
A＝(1/2)((α＋δ)±√[α^2＋δ^2－２αδ＋４γβ])
A＝(1/2)((α＋δ)±√[(α－δ)^2 ＋４γβ])　　・・・（７）

です．したがって，λとμは，それぞれ，

λ＝(1/2)((α＋δ)＋√[(α－δ)^2 ＋４γβ])　　・・・（８）
μ＝(1/2)((α＋δ)－√[(α－δ)^2 ＋４γβ])　　・・・（９）

となります．（６）と（８）と（９）で，関数 x(t) が与えられます．

もし，（７）の A が， (α－δ)^2 ＋４γβ＝0 となる等根の場合は，

A＝(α＋δ)/2
x＝e^(At)[Ｃ＋Ｄt]　　・・・（６）

が一般解です．

次に，関数 y(t) を求めるには，（６）の関数 x(t) を（２）式：
y'＝γx＋δy に入れて，

y'－δy＝γx(t)　　・・・（１０）

を解く事になります．この（１０）は，１階線形常微分方程式で，解を与える公式が知られていますから，それを使って解いてみて下さい．

No.1 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/01/24 18:03

係数行列a1,a2,b1,b2の固有値λ1,λ2および固有ベクトルv1,v2を求めます。

C1*exp(λ1*t)*V1+C2*exp(λ2*t)*V2が答です(C1,C2は初期値から決まる定数)。