伝熱に関する質問です。

太陽が反射するエネルギーは、5780Kにおける黒体のそれとして近似できる。地球の公転軌道の半径が1.49*10^11 m( =l ) 、太陽の半径が6.95*10^8 m（ =R ）　として、地球が太陽から受ける熱エネルギーを求めよ。また、地球を黒体と考え、宇宙空間の温度が0Kとして、地球の表面温度を求めよ。

という問題なのですが、宇宙空間でも熱が伝わるということは、放射伝熱ですよね。
ということで、熱エネルギー流速q = 5.67*10^-8 * 5780^4 * 2.176*10^-5 （←πR^2/πl^2）
q=1.38 kW・m^-2
と求めることができたのですが、地球の表面温度の求め方がわかりません。
熱流束からどのように計算を行えば求まるでしょうか？どなたかご教授よろしくお願いします。

No.1 回答者： ok-2011 回答日時： 2012/01/28 09:29

>地球を黒体と考え、宇宙空間の温度が0Kとして、地球の表面温度を求めよ。

表面温度を一定として，得た熱を黒体輻射（／放射）で失うとすればよいと思います．
熱を得るのは地球の断面積で，失うのは全表面積であることに注意してください．

>q=1.38 kW・m^-2

1.37 という値がよく使われますが・・・

No.2 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/01/28 11:41

　太陽定数といって、太陽に垂直な1m^2の面が、1秒間に受け取るエネルギーは1.37[KWh/(m^2・sec)]＝1.37×10^3[J/(m^・2sec)]です。

ちょっと誤差があったようですが、ここまでは求められたわけですね。
　以下では、1.37のほうを使っています。ご事情に合わせて、計算を変更されてくださるよう、お願いいたします。

　地球が受け止めている太陽エネルギーは地球の断面積になります。
　地球の半径をrとして、断面積πr^2で受ける太陽エネルギーが、全地球表面＝4πr^2で均等に暖めます。
　つまり、単位面積（1m^2）では受け取るエネルギーは、πr^2/4πr^2＝1/4、つまり1/4になります。
　さらに地球が吸収できる太陽光は、地球が30％反射すると言われていますので、暖めるエネルギーは、さらに0.7倍です。トータルで0.7/4です。

　ステファン・ボルツマンの法則を考えて、地球が放射するエネルギーは、地表温度の4乗に比例します。
　これは、Eを放射エネルギー（J)、Tを物体の表面温度（K)として、以下の関係式です。
　なお、ステファン・ボルツマン定数σ＝5.67×10-8[J/(sec・m^2・K^4）]です。

　E＝σT^4

　結局、地表を暖めるエネルギーは、0.7/4を考慮して、E＝2.4×10^22[J/(sec1・m^2)]です。
　地表の温度が一定になるなら、平衡状態で、受けた熱と同じだけの熱を放射していることになります。
　このEでTを求めれば、地表の温度が分かります。

　2.4×10^22[J/(sec・m^2）]＝σT^4
∴T^4＝4.23×10^9[K]
∴T＝255[K}＝－18[℃]

P.S.

　上は平均です。地球が太陽にいつも同じ面を見せているとして、太陽から放射熱を受けている面から、影の側で絶対零度に近い宇宙空間へ放射する面で、地球内部で温度勾配ができます。
　自転を考慮すると、この様子は、さらに複雑になります。

　地球の平均気温がもっと高いのは、「適度な」温室効果のためだと言われています。

この回答への補足

ごめんなさい。追記するのを忘れていました。答えによると、279Kが正解のようです。どういうことでしょう・・・

補足日時：2012/01/28 21:50

No.3 回答者： ok-2011 回答日時： 2012/01/28 15:23

ANo.2 を読んで

この問題では係数の 0.7 は無視してよいように思えます．

この回答へのお礼

そのようですね！助言ありがとうございます！

お礼日時：2012/02/12 20:37

No.4 ベストアンサー 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/01/28 22:41

　補足、承りました。

>答えによると、279Kが正解のようです。どういうことでしょう・・・

　なるほどそうでしたか。では、0.7という寄与を考慮しないということですね。
　この0.7は4乗で効いていますので、結果の255Kを、逆に0.7^(1/4)＝0.9147で割って、その寄与を消すと、279K（小数点以下四捨五入）で一致します。

　途中の式で、0.7/4としたのを、1/4に戻せばいいでしょう。

　6℃くらいということですね。
　ちなみに、－18℃という値は、環境関係者には、温室効果ゼロの場合の推定地表温度として、よく知られた温度です。
　さらに、こういう計算では地球が黒体輻射で計算してよいことも、併せて知られていることも多いです。

この回答へのお礼

ありがとうございます！おかげで解決することができました！

お礼日時：2012/02/03 22:08