中空円柱の慣性モーメントとGD^2について

慣性モーメントに関する質問です。

一般的に、中空円柱の慣性モーメントはIz=m(R^2+r^2)/2と表わす事ができますが、手元にある教科書では何故か、Iz=m(R^2-r^2)/2という表記になっています。
更にこれを直径について改め、Iz=M(D^2-d^2)/8という表記になっています。

これは合っているのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2012/02/08 07:56

私も一瞬、＃１様と同じように考えてしまいました。

ｒ→Ｒの場合をＭ→０として慣性モーメント→０とするという考え方は混乱します。
物が無いという場面ですから慣性モーメント自体意味を持たなくなるのです。慣性モーメントの枠内で考えて、小さくても有限の質量を持つ場面に当てはめる方がいいと思います。
ｒ→Ｒは円環の場合です。
この場合の慣性モーメントはＭＲ^2です。
慣性モーメントの計算の中では一番簡単な場合になっています。

※
積分で定義された式だけで考えていると面倒な計算というイメージを持ってしまいます。
公式を探して当てはめようとすることになってしまって気がるにチェックするということができなくなります。

でも運動エネルギーの表現で定義されているとすると分かりやすくなります。
質量Ｍの質点が半径Ｒの円周上を速さＶで運動しているとします。
運動エネルギー　Ｅ＝(1/2)ＭＶ^2
この質点の運動は回転運動ですから角速度ωで書きなおすことができます。
Ｅ＝(1/2)ＭＲ^2ω^2＝(1/2)Ｉω^2
Ｉ＝ＭＲ^2
これが慣性モーメントです。
この質量Ｍを一点ではなくて円周上に分布させても表現は変わりません。
距離が一定で、同じ角速度で運動しているという場合であればどういう分布をしていても同じです。
円環は円周上に質量が均一に分布しているとした場合です。
円盤は円環を足し合わせればいいです。

普通は2つの円盤の差を考えて円環を出すという手順になっています。
教科書の記述はそこで間違ったのだろうと思います。
Ｉ＝(1/2)ρπｄ(Ｒ^4－ｒ^4)
　＝(1/2)ρπｄ(Ｒ^2＋ｒ^2)(Ｒ^2－ｒ^2)
（ｄは円盤の厚みです。円筒の場合は高さと見ても同じです。）　

ここで　Ｍ＝ρπｄ(Ｒ^2－ｒ^2)　としなければいけないところを　Ｍ＝ρπｄ(Ｒ^2＋ｒ^2)としてしまったのでしょうね。そして結果の表現でｒ→ＲとするとＩ→０になるので「これでいい」と思ったのでしょう。
質量Ｍの針金の環だと思い当たっていれば間違いに気が付いただろうと思いますが。

この回答への補足

結果から判断すると合っているということでしょうか？

補足日時：2012/02/08 20:34

No.1 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/02/07 12:01

結論から言うと手元の教科書のミスでしょう。

一瞬「教科書が正しくて質問者さんの理解が違う。すなわち，外径Rと内径rが近づく極限では，慣性モーメントは0になる。だから因数としてR^2-r^2がかかる。」
と思ってしまいました。
しかし，よくよく考えると，外径Rと内径rが等しくなれば，質量mが0になるので慣性モーメントは0になります。慣性モーメントは　質量×(半径)^2　の形になるはずなので，m(R^2+r^2)/2の形でよいのです。

不安になったら慣性モーメントの定義の積分∫r^2dm　へ立ち戻って計算すれば，確認できます。