場合の数　漏れなく数える方法

Question

８個のみかんをＡ～Ｃの３つのかごに分けて入れたい。
かごに1つも入れない場合を考えて何通りあるか答えよ。

という問いなのですが・・
　まず、３つのかごへの分かれ方ですよね。

８、０，０　　
　　７、１、０
　　６、２、０
　　６、１、１
　　５、３、０
　　５、２、１
　　４、４、０
　　４、３、１
　　４、２、２
　　
　まではすんなりいくのですが最後の３，２，２の見出し方がどうも苦手です。　
　この類、いつも順序良くいき、最後の漏れが決まってこのパターンです。
　漏れなく数えるコツ、あればどなたかご教授ください。
　よろしくお願いします。

WiredLogic · Accepted Answer

#1さんの回答が、３つのかごを区別するする場合の場合の数の求め方の定石で、「重複順列」という名前が付いています。

ちなみに区別しない場合の求め方は、「重複組合せ」という名前があり、公式もありますが、「重複順列」ほどには考え方も公式も単純ではないので、よく理解できないまま、生兵法で使うくらいなら、質問者さんのように、数えてみるで通すのも、「漏れなく」数えられれば、立派な手です。

「重複順列」「重複組合せ」の考え方・公式については、次のサイトの、
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/index_m.htm

それぞれの項目(目次が探しにくいので、念のため、リンクを書いておきます)
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/rep_permu.htm
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/s1combi5.htm
が、短い割には、とても解りやすいと思うので紹介しておきます。

で、どうやって「漏れなく」数えるか、ですが、

#1さんの言う、

＞数え漏れを無くす。それは注意するしかないですよ。
＞冷静にやっていくしかないんですよ～。

は、それ自体は全く正しく、えらいマスコミやお役人や学校の先生がよくいう言葉ですが…

残念ながら、それを説教し続けることで、例えば、交通事故や医療事故などを、減らすことができた、と言う話は、あまり聞いたことがない。

実際に減らせたところは、具体的、かつ、システムとして意味のある、何らかの対策ができたところ、例えば、住宅街の中の細い通りなどでは、路面に障害物やデコボコを意図的に作ったり、歩道を広くとって、車道を狭くしたり、交差点を実際に見える以上に、見えにくく感じさせたりすることで、スピードを自然に落とさないといけないようにする、すると、自然に事故は減り、起こっても大事故になりにくい、通り抜けの車が減って、交通量自体が減るので、さらに効果がある、こういうことができたところです。

精神論でミスが減らせる、と思うのは、「できる」人が、自分もそういう対策をしているのに、無意識なので自分で気づいていない(数学は、一旦、できると当たり前になってしまう教科なので、こういうのは実に多い)ため、ついつい、陥りやすい罠だったりします。万が一、意識的に気づいているのに、教えないとしたら、とんでもなく根性が悪いということに^^、(難しいチェックが必要で、初級者は混乱するから、そこを配慮して、というようなことがある場合も、ありますが^^)

前置きが長くなりましたが、ここでは、どうすればいいのか、というと、

まず簡単にできるのが、並べていくときに、
最初か、早い段階で、終わりがどうなるかをチェックすること、
並べていきながら、考えると、だと、気持ちが並べることに
かなり向いているので、落ち着いて考えれば、落とさない場合を、
うっかり見逃したりしやすくなる、その対策です。
逆に早い段階でやると、見落としやすいことというのもありますが、
並べる最後のところで、そういうチェックに一切気が向かないという
ことはないでしょうから、結局、ダブルチェックをすることになり、
見落とす可能性は、確実に減らせるでしょう。

これだけだと、精神論より半歩くらいは、踏み込んではいても、
まだ、ちと甘いところがあります。最後を早めにチェックは同じでも、
そこでの、もっと具体的なチェック方法として、
一番、最後が、たまたま、どんな形になるか、で、なく、
全体の流れとして、どんな状態になっていないと困るかを考える、
そう見ると、後になるほど、全体に均等にばらまくようになって
いるんだな、ということが解るのは、そんなに難しいことじゃない、
そこで、究極の場合を考えると、８÷３＝8/3＝2と2/3ずつ分かれる、
ただ、整数個ずつじゃないといけないから、(3,3,2)が最後になるな、
こういうことを考えると、相当な割合で見落としが防げる、

「できる」人は、最初から、多くの場合、無意識でこういうチェックをやっていたり、ミスした経験から、編み出したりしています(これも結構無意識だったり、気づいたときは意識的でも無意識になってしまう、まぁ、無意識になるくらいに、使い込まないと、数学の知識は使いこなせない部分が多いので、仕方がないのですが、その分、「できる」人の言葉が、できない人に伝わりにくくなる面もあったり…)

質問者も、ただ「漏らしてしまう」と悩むだけでなく、できるだけ「何故なんだろう」それ以上に「どうしたら防げるんだろう」ということを、考えるようにしてください。その場その場で、ふさわしい答が得られるとは限りませんが、こういうことを考え続けていると、考える回路というのが、脳内に作られて、いずれできるようになったり、人に説明してもらったことに、うまくできかけの回路が、ピッと反応するようなことがあると、ただ、説明してもらった、解った、という以上に、脳内で定着しやすくなります。

B-juggler · Answer

Ｎｏ．１です。もういいかなぁ？と思って書きます。

えっと、この手の問題は、３＾８だけでは解けない。

Ｎｏ．５さんご指摘のとおりです。

なぜか？　みかんに区別がないから。

区別して数えているから、区別をなくしてあげないといけない。

Ｎｏ．４さんが、σ(・・*)のことをあげて、書いてくださってますが、

評価するを押しているのはσ(・・*)です＾＾；

えっとね、コツは自分で見つけるものなんですよ。

６，７年前くらいかな、最後倒れる前は。

代数の非常勤やっていたころ、感じていたのは

だんだんと自分でやろうとしなくなってきているのかなぁ？と、思っていました。

こういうサイトができたのもここ数年だよね。

こういうところで、聞いてしまって、自分で考えない（失礼）で

答えだけ合わせに来る学生が多くなったんですよ。

そうなって欲しくないんです。

ちょっときついかもしれないんだけど、自分で「試行錯誤」やって

自分の「コツ」を見つける。

それを惜しんではならないと思っているんです。

それは最初からできる人間なんていないよ。

σ(・・*)も、ぱっと（３，３，２）は出るかどうか分からない。

やってきた経験でしかない。これで好いと言うのはね。

３＾８　ででないのは、上にも書いたから、どうやったらでるか、

自分で見つけてみて？

意地悪しているんじゃないけど、わざと間違えた答え書いたりもしますよ。

＃本気で間違えてるときもあるけどね＾＾；

最後は自分なんだよ。

今は、それが変わっちゃった。

最後は「塾の先生」「公式」「ＮＥＴ」。

それじゃいけないよ～。

σ(・・*)は、大きい順に、８のとき後は０，０だ。

７のとき、後は１，０だ。

６のとき、後は２つだから、２，０　か　１，１だな。

こういう風に進めて、重複しないように気をつけながら、

４のとき　残り４つ　４，０　　３，１　　２，２

３のとき、重複しないのがあるかな？　３，３，２　があるか。

とします。

試行錯誤して、何十回もやって、何回も間違えて、何回も当てて、

何回も怒られて、今があるんです。

自分でやる事を投げちゃダメだよ。いいかな。それだけ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

noname#166245 · Answer

質問者さんへの疑問への回答でありませんが一言。

今回の問題の場合、みかんには区別がないと思うのが自然です。

他の回答者さんの答えで、3^8という答えがありますが、
これは、みかんにひとつひとつに区別がある場合の、
場合の数かと思います。

難しいですよね～、場合の数って。

yyssaa · Answer

左端の数を３にするなら、４、２、２以上で３の入った並びを
選び出し、その並びの左端を３に並べ替えて並べてみて、それら
以外の組合せを探し出すしかないでしょう。
５、３、０は３、５、０に４、３、１は３、４、１に並べ替えて
おき、４、２、２以上と同じ要領で
３、５、０
３、４、１
３、３、２
を書き出し、
３、５、０と３、４、１は重複しているので除き、３、３、２
だけを４、２、２の下に書き加えます。
　以下、左端を２以下にする場合も同じようにやるしかないと
思います。

f272 · Answer

漏れなく数えるコツは，数え上げる規則を決めてそれにそって順序良く数えることです。

今の例だと
8，0，0から始める。最初が8なのはこれだけ。
最初を7にして7，1，0。二番目を減らして7，0，1にするのは，二番目より三番目が大きくなるのでできない。
次は最初を6にして6，2，0。次は二番目を減らして6，1，1。次の6，0，2はだめ。
次は最初を5にして5，3，0。次は二番目を減らして5，2，1。次の5，1，2はだめ。
次は最初を4にして4，4，0。次は二番目を減らして4，3，1。次は4，2，2。次の4，1，3はだめ。
次は最初を3にして3，3，2。次の3，2，3はだめ。
最初を3のときに3，5，0とか3，4，1を考えないのは一番目より二番目が大きくなるからです。
次は最初を2にするけど2，2，2の時点でだめなのでおしまい。

B-juggler · Answer

こんばんは。多分書き間違いだと思うけど、

｛３，３，２｝のパターンだと思う。

数え漏れを無くす。それは注意するしかないですよ。

冷静にやっていくしかないんですよ～。

でね、これは、ＡＢＣのかごを区別するんでしょう？

とすれば、別の方法を考えればいいわけです。

＃こっちの方がホントは大事だよ。

みかんに順番をつけるとしますが、

最初のみかんが入るかごは、ＡＢＣの三種類、

次のみかん（２番目）もやはり三種類。

同様に考えると、全てのみかんは、三種類のかごのどれかに入るので、

３＾８　とおり。

こっちの考え方もありますよってことで。

問題によっては圧倒的にこっちの方が楽ですよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

場合の数 漏れなく数える方法

#1さんの回答が、３つのかごを区別するする場合の場合の数の求め方の定石で、「重複順列」という名前が付いています。

Ｎｏ．１です。

質問者さんへの疑問への回答でありませんが一言。

左端の数を３にするなら、４、２、２以上で３の入った並びを

漏れなく数えるコツは，数え上げる規則を決めてそれにそって順序良く数えることです。

こんばんは。

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