終結式を用いて、ｘ＝ｔ＾2/（1+ｔ＾2）・・・

終結式を用いて、ｘ＝ｔ＾2/（1+ｔ＾2），ｙ＝ｔ＾3/（1+ｔ＾2）、で定義された曲線が満たす方程式ｆ（ｘ、ｙ）＝0を見つけよ。


解答お待ちしています。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/14 11:52

#1です。

A#1に回答したように

媒介変数表現
　(x,y)=(t^2/(1+t^2), t^3/(1+t^2))
の曲線をx,yによる陰関数表現f(x,y)=0の方程式に直すと
　f(x,y)=x^3+xy^2-y^2=0 (0≦x＜1)
となります。xの範囲をつけて置いてください。

xの範囲「0≦x＜1」は　0≦x=t^2/(1+t^2)＜1　から出てきます。
　f(x,y)=x^3+xy^2-y^2=0　だけだと　x=1が含まれてしまいますので除かないといけません。t→±∞でx=→t^2/(1+t^2)=1/(1+(1/t^2))→1となるので　x=1は漸近線となります。

2つの表現のグラフを描くと完全に一致し、添付図のグラフになりますので
正しく変換されていることが立証されます。

なお、f(x,y)=x^3+xy^2-y^2=0　(0≦x＜1)　の式から　x≠1より
　y^2=x^3/(1-x)
と変形できる。y^2≧0から
　x^3/(1-x)≧0
　0≦x＜1
とグラフの存在範囲0≦x＜1が導けます。
　
　f(x,y)=x^3+xy^2-y^2=0 (0≦x＜1)
は
　f(x,y)=x^3+xy^2-y^2=0 (x≠1)
としても良いです。yの実数条件から(0≦x＜1)は出てきます。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/13 18:40

y=t*x

(x≠0の時)
　t=y/x
これをxの式に代入
　x=(y/x)^2/(1+(y/x)^2)=y^2/(x^2+y^2)
x(x^2+y^2)-y^2=0 (x≠0)
(x=0の時)
t=0,y=0

以上まとめると

∴f(x,y)=x^3 +xy^2 -y^2=0