滑車問題： 求めた張力が解法に依って変わってしまい

こんにちは、勉強させて頂いております。

滑車にかかわる問題で、吊るされている物体にかかる張力についてお聞きします。

もともとの問題は、添付の図のような状況でして、図の静止状態から解放すると、
物体Bは1.5m直下の点で1.4m/sの速さをもつというものです。この際の両物体に
かかる張力の大きさが求められています。なお、滑車の重さは無視できるものとしています。
物体A、Bにかかる張力をそれぞれTa、Tbとしています。

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模範解答では、エネルギー保存の法則から、

【Aについて】
(Ta-12kg x 9.8)x1.5m = (1/2)12kg(1.4 m/s)^2 ...(i)

計算すると、Ta = 126N

【Bについて】
(15kg x 9.8 - Tb)x1.5m = (1/2)15kg(1.4 m/s)^2... (ii)

計算すると、Tb = 137N

となっております。
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ここからが疑問点でありまして、

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私は運動方程式を立ててみました。
aをA、Bに共通の加速度とすると、

【Aについて】
12kg x a = Ta - 12kg x 9.8 ... (iii)

【Bについて】
15kg x a = 15kg x 9.8 -Tb ... (iv)

また、ここで、滑車の回転運動について
I:滑車の慣性モーメント、　α：滑車の角加速度、r:滑車の半径
とすると、
Iα = (Tb - Ta)r ...(v)
なお、滑車の質量は無視するため、実は滑車の慣性モーメントIはゼロ
であり、上の式(v)より、

Tb = Ta ...(vi)

この時点で、上述の模範解答と全く異なることは明らかです・・・。、
実際にTa　（つまりTb）を (iii),(iv)から求めると、

Ta = Tb = 13N　となりました。
なお、a = 0.11 m/s^2

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なぜ、このような違いが生じるのか分からずにおります。
基本的な何かのミス、考え違いなのだと思われますが、どうかヒントを頂きたく
宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/03/10 17:11

この問題，明示的に書いてないのですが，滑車に摩擦力が働く状態を考えています。

Ma=12kgの物体AとMb=15kgの物体Bを，摩擦も慣性モーメントも無視できる滑車に掛けると，
その加速度は，
a=g*(Mb-Ma)/(Mb+Ma)=9.8m/s^2*3/27=1.089m/s^2になるはずです。
静止状態からこの加速度で1.5m動くと，1.807m/sの速度になっているはずです。
つまり，1.5m下で1.4m/sの速度にならないのです。

静止状態から等加速度運動して1.5m移動し，そのときの速度が1.4m/sであった。
2as=v^2より，加速度はa=v^2/(2s)=1.4^2/(2*1.5)=0.6533m/s^2です。
Aに働く張力Ta=12kg*(9.8+0.6533)m/s^2=125N
Bに働く張力Tb=15kg*(9.8-0.6533)m/s^2=137N
滑車には摩擦があり，
12Nの動摩擦が働いているという想定ですね。


質問者さんの(v)式の代わりに，
Tb-Ta=Tf，Tfは滑車の動摩擦による張力の偏差分。
の式を加えなければなりません。

この回答への補足

FT56F001様、

実際、ご教示頂いたことを元に、エネルギー保存則からではなく、
運動方程式から解いてみました。初めてのことでして、解答がないこともあり、恐れ入りますが、以下の解法をご確認・添削いただけないでしょうか。

12kg x a = Ta - 12kg x 9.8 ... (iii)

15kg x a = 15kg x 9.8 -Tb ... (iv)

Tb-Ta=Tf ... (v)

そして、与えられている速度1.4m/s @ 1.5mを使って、
tを物体が速度1.4に達するのに要する時間として、

a x t = 1.4 ...(vi)

0.5 x a x t^2 = 1.5 ...(vii)

とすれば、未知数が5つ（張力２つ、摩擦力、加速度、時間、Ta, Tb, Tf, a, t)で
方程式が5つですので、すべて求めることができます。

そして、確かにTa = 125, Tb = 138
と求まりました（解法が異なるため、若干の計算誤差が生じたようです）。

いかがでしょうか、宜しくお願い致します。

補足日時：2012/03/10 23:55

この回答へのお礼

回答ありがとう御座います。
なるほど、摩擦が滑車と糸の間に掛かっているわけですか。盲点でした。

ところで、一般に、こういったことをどうやって問題文から読み取る、解釈、予想するのでしょうか。滑車について質量無視とは書いてありましたが、摩擦はある、ということを察知しなければなりません。回答文にあるとおり、摩擦なしの運動方程式でもとめた加速度を考えても、問題文で与えられている速度にならない、というプロセスを経なければならないのでしょうか。

もっと申し上げますと、もしある地点の速度、が与えられていなかった場合、この問題はどうやって解くのでしょうか。問題文中に「摩擦なし」と明記されていなければ、「解けない」ということでしょうか。

追加の質問のようになってしまいましたが、一般のお話しとして、どうか宜しくお願いします。

お礼日時：2012/03/10 22:50

No.6 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/03/15 11:13

>「系全体のエネルギーが保存される」ではなく、

>AとBそれぞれ個別にエネルギー保存則を当てはめておりますが、これ正しいでしょうか。
はい，この問題では滑車の摩擦を考えるので，摩擦で熱に変わる分だけ，
系全体の力学的エネルギーは小さくなります。しかし，物体Aだけを見れば，
(働く力)×(動いた距離)=運動エネルギー(mv^2/2)は成り立ちます。
物体Bだけでも同様です。

(個人的には，系全体の力学エネルギー保存則が成り立たないケースに対して，
ミクロなエネルギー保存則を持ち出してくる解法に，気持ち悪さはあります。)

>始めにお示しした式、(i) (ii)は、ただの一つの方程式になるのではないでしょうか。
>(Ta-12kg x 9.8)x1.5m + (15kg x 9.8 - Tb)x1.5m = (1/2)12kg(1.4 m/s)^2 +(1/2)15kg(1.4 m/s)^2
この式は正しいです。しかし，条件としては弱くなりますね。それで解けなくなってしまうのでしょう。

この回答へのお礼

早速回答くださいましてありがとう御座いました。

お礼日時：2012/03/16 01:24

No.5 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/03/12 13:50

>そして、確かにTa = 125, Tb = 138

>と求まりました（解法が異なるため、若干の計算誤差が生じたようです）。
正しいと思います。

>一般に、こういったことをどうやって問題文から読み取る、解釈、予想するのでしょうか。
>摩擦なしの運動方程式でもとめた加速度を考えても、問題文で与えられている速度にならない、
>というプロセスを経なければならないのでしょうか。

この問題，不親切というか，言葉足らずのところがあります。

「1.5m落ちて1.4m/sの速度」が与えられていなければ，
a)滑車の摩擦無視
b)滑車の慣性モーメント無視
c)地球上で重力加速度は9.8m/s^2
d)オモリの空気抵抗は無視
と考えて計算するでしょう。

「1.5m落ちて1.4m/sの速度」の条件を満たすためには，何かを考えなければいけません。
a)滑車の摩擦が無視できない
b)滑車の慣性モーメントが無視できない
c)重力加速度は9.8m/s^2ではない
d)オモリの空気抵抗は無視できない

問題に「滑車の重さは無視」と書いてあるので，
慣性モーメントはない，ということですね。
ということは，滑車に摩擦がある，という選択が常識的でしょう。

問題文だけで模範解答を無視するなら，別解として，
「重力加速度が5.9m/s^2の星での実験です。滑車の摩擦は無視できます。」
という答案も許されると思います。


#2,#3さん
>0である滑車の慣性モーメントを使うことはできません。
>どんな小さいトルクでも角加速度は無限大に発散してしまいますので。

いいえ，質問者さんの式で正しいです。
滑車の慣性モーメントが有限ならTb≠Taとなり，
問題の条件「1.5mで1.4m/s」を満たす慣性モーメントと半径を決めることは可能です。
滑車の角加速度は，二つの物体の加速度と滑車の半径から決まる有限値になり，
滑車の慣性モーメントが0なら質問者さんが書いている通りTa=Tbになります。

この回答へのお礼

再び回答頂きましてお礼申し上げます。

読み返しておりまして、ふと思ったのですが、

模範解答のエネルギー保存則を使った解法では、

「系全体のエネルギーが保存される」ではなく、AとBそれぞれ個別にエネルギー保存則を当てはめておりますが、これ正しいでしょうか。
始めにお示しした式、(i) (ii)は、ただの一つの方程式になるのではないでしょうか。

(Ta-12kg x 9.8)x1.5m + (15kg x 9.8 - Tb)x1.5m = (1/2)12kg(1.4 m/s)^2 +(1/2)15kg(1.4 m/s)^2

すると、瞬く間に、解けなくなってしまいます。
しかし、(i)(ii)の別々にした式で求めた値は確かに合っているいます。
どういうことが起きたのか、分からなくなってしまいました。

重ね重ね、お頼りして申し訳御座いませんが、どうかヒントを頂けないでしょうか。

お礼日時：2012/03/15 01:27

No.4 回答者： htms42 回答日時： 2012/03/11 10:53

＞なるほど、摩擦が滑車と糸の間に掛かっているわけですか。

盲点でした。
＞ところで、一般に、こういったことをどうやって問題文から読み取る、解釈、予想するのでしょうか。滑車について質量無視とは書いてありましたが、摩擦はある、ということを察知しなければなりません。
回答文にあるとおり、摩擦なしの運動方程式でもとめた加速度を考えても、問題文で与えられている速度にならない、というプロセスを経なければならないのでしょうか。

物体の落下速度と落下距離は初速度、落下時間、加速度が決まれば決まります。
加速度は重力だけが原因の運動であれば一体であれ、２体であれ、束縛条件を決めれば決まってしまいます。
自由落下、放物運動、斜面、は一体の場合です。時間を決めれば位置と速度は決まります。
位置と速度のどちらかを決めれば他方は決まります。

滑車の運動は二体ですが紐の長さ一定、片方の物体の落下距離＝他方の物体の上昇距離という制限付きの運動です。この制限が付いていることで一体と同じになっています。速度、加速度が１つに決まるというのは一体と同じことですね。
重力だけが原因であるとすれば加速度は決まってしまいます。
時間が決まれば落下距離と落下速度は決まってしまいます。
問題で与える必要があるのは位置と速度のどちらか片方でいいはずです。

この問題では「１．５ｍ落下した時の速度が１．４ｍ／ｓである」と２つの量が与えられているのですから「どうして？」ということになるのです。そこでエネルギー保存則で確かめると「位置エネルギーの減少＞運動エネルギーの増加」になっていることが分かります。これの埋め合わせが何かを考えます。
（１）運動エネルギーの数え落とし・・・Ａ，Ｂ２つ以外にも運動している物体がある
（２）運動エネルギー以外へのエネルギーの移動・・・滑車の部分での摩擦がある

（１）２つの物体以外で動くことのできるのは滑車だけです。
　　でも質量が０となっていますので運動エネルギーを持つことはできません。
　　　質量がゼロの滑車の働きは糸の動きの向きを変えるというだけです。
　　　滑らかな円柱に糸をかけたというのと同じです。
　　　滑らかな釘に糸をかけるのと同じですが２本の糸を平行にするためには径を大きくする必要がある
　　　というのが質量のない滑車の働きです。
（２）糸と円柱の間での摩擦です。
　　　糸と滑車の間の摩擦というのは普通考えません。この２つの間では滑る必要はありません。
　　　一緒に回ればいいのです。問題になるとすれば「滑車と軸の間でのまさつ」です。
　　　まさつが問題になるのはいつも「静と動の接点」です。そこでエネルギーのロスが起こります。
　　　一緒に動くのであれば摩擦は大きくてもかまいません。
　　　自動車の場合で言うとタイヤと路面の間の摩擦は大きくていいのです。滑ればかえって困ります。
　　　車輪とシャフトの間の摩擦、エンジンから車輪までの全ての可動部分での摩擦が問題になる摩擦です。

参考
模範解答はＡ，Ｂ別々にエネルギーを考えていますので分かりにくいです。
全体で考えればいいです。
　位置エネルギーの減少　　(ｍB－ｍA)ｇｈ
　運動エネルギーの増加　　(ｍB＋ｍA)ｖ^2／２
Ｑ＝３×９．８×１．５－２７×１．４^2／２＝９．０×４．９－５．４×４．９
　＝３．６×４．９＝１７．６４
　＝ｆＬ　　　・・・（ｆ：摩擦力）
ｆ＝１７．６４／１．５＝１１．８

ここまでは全体を見ています。
張力を知るためにはＡ，またはＢについてみなければいけません。

運動方程式を立てても模範解答のようにやってもどちらでもいいです。
２つの張力には１２Ｎの違いが生じています。
差が分かっていますから、Ａ，Ｂのどちらか片方について考えれば十分です。
摩擦力の向きは運動の方向と反対です。
Ｂから見るとＡを引っ張る力と摩擦力の分の２つが必要になりますから内容的にはＡが重くなったのと同じになります。ＴB＞ＴA　です。ＴB＝ＴA＋１２です。

＃２
＞張力差があるから、二つの物体に加速度があるわけで

これは勘違いでしょうね。
まさつがない場合には張力差は存在しません。
加速度は　質量差（ｍA＜ｍB）から出てきています。

No.3 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/03/11 00:09

　お礼、ありがとうございます。

>「慣性モーメントと角加速度の積 = トルク」

　おお、しまった「Iα」を慣性モーメントと読み誤りました。大変申し訳ありません。
　I×αで、αは滑車の角加速度だったんですね。

　角加速度は、

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E5%8A%A0% …

といったものですから、トルクはTb－Taに半径rを掛けたもので、滑車半径rとして、その関係は確かに、

　(Tb－Ta)r＝Iα

となります。

　この式がどうなのかということになります。これが無条件に成立するかと言い換えてもいいでしょう。

　この式が単体で成り立つとすると、たしかにI＝0なら、Tb＝Taです。

　滑車にとって、つまり滑車だけ見ると、TaとTbは物体があるかどうかは関係ないことです。Taの与えるトルクとTbの与えるトルクがの大きさが等しく、向きが逆向きなら、角加速度はありません。

　そこから計算して、物体に加速度が出てきますから、滑車も角加速度があるわけで、どこかがおかしいわけです。

　それはI＝0でも(Tb－Ta)r＝Iαで有限のαとなるという仮定です。もし、Tb≠Taなら、I→0の極限で、α→∞に発散します。

　では、なにがおかしいのかということですが、それが先に申し上げました、

>　滑車の質量を0としていますので、ここは円盤の慣性モーメントを無視ということになり、滑車の慣性モーメントで何かを求めることが不可能になっています。

ということです。

　確かに滑車は有限の角加速度にはなりますが、それは0である滑車の慣性モーメントを使うことはできません。どんな小さいトルクでも角加速度は無限大に発散してしまいますので。

　ここでは直接には見えないことですけれども、異なる2つの値に0を掛けたら必ず等しくなったり、またそれは0で0を割ると正しくない結果が出たりするのと似たようなことです。

　ですので結果として出てくる滑車の角加速度は、二つの物体の等しい加速度でしか求められず、前提として使うことはできません。

No.2 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/03/10 22:09

>I:滑車の慣性モーメント、　α：滑車の角加速度、r:滑車の半径とすると、

>Iα = (Tb - Ta)r ...(v)

　まず、ここだけでしょう。

　慣性モーメントの説明は、以下のウィキペディアにの通りです。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7% …

　式(v)は、慣性モーメントを「力×滑車半径」としてしまっており、これは、やはり以下のウィキペディアのトルクの説明にある通り、トルクの定義になります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%AB% …

　滑車の質量を0としていますので、ここは円盤の慣性モーメントを無視ということになり、滑車の慣性モーメントで何かを求めることが不可能になっています。
　仮にもしトルクで何かを求めようとしても、そこは条件として何も与えられていないわけですので、やはり無理でしょう。

　お示しの模範解答では、既に「1.5メートル移動して、速度が1.4m/s」ということが与えられています。

　張力差があるから、二つの物体に加速度があるわけで、移動の加速度は両者に等しく等加速度、また重力加速度も両者に等しくなります。ここから、「力×距離」という式がそのまま力学的エネルギーの計算に使えます。これは位置エネルギーとなります。

　また与えられた時点での、二つ物体の速度は等しく、さらにこれが既知となっていますから、運動エネルギーの計算が直ちに可能です。

　模範解答では、それに基づき、位置エネルギーと運動エネルギーの和が保たれることを使って、与えられた条件から最短で張力を求めているようです。

　質問者様が最初に立てられた式(iii)(iv)は非常に基本的なところから出発するものですし、よく使うわけで、そこはいいと思います。
　ただ、慣性モーメントとトルクをちょっと勘違いした式(v)も考慮してしまったため、模範解答との差異が生じたということだけでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとう御座います。

ただ、

Iα = (Tb - Ta)r ...(v)

の式は、回転運動に関する運動方程式でして、、
「慣性モーメントと角加速度の積 = トルク」
です。お示し頂きました、トルクについてのリンク（ウィキペディア）
にも御座います（最下段の表の第一列）。

ただ、もしかしたら私の何かの
読み違いかも知れないと危惧しており、
間違い御座いましたらご指摘頂ければと思います。

お礼日時：2012/03/10 22:44