数学II 恒等式

xについての多項式x^3+2x^2+ax+bが(x-1)^2で
割り切れるときxについての恒等式x^3+2x^2+ax+b=(x^2-2x+1)(x+c)が成り立つ。
定数a,b,cの値を求めよ。

という問題なのですが
どのように解いていけばいいのでしょうか。

解説よろしくお願いします。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/04/21 15:48

右辺を展開して、係数を比較（ｘの次数が同じ項の係数が等しい）して下さい。

するとａ，ｂ，ｃの連立方程式ができるのでそれを解いて下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2012/04/21 18:00

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/04/21 17:06

>恒等式x^3+2x^2+ax+b=(x^2-2x+1)(x+c)が成り立つ。

#1さんのヒント通り右辺を展開して
x^3+2x^2+ax+b=(x^2-2x+1)(x+c)
=x^3+(c-2)x^2+(1-2c)x+c
両辺のxの次数が同じ係数がそれぞれ等しいと置けばよい。
　2=c-2
　a=1-2c
　b=c
a,b,cについての連立方程式を解けば
　a=-7, b=c=4

[別解]として
　x^3+2x^2+ax+b=(x-1)^2*(x+c) ...(A)
xで微分
　3x^2+4x+a=2(x-1)(x+c)+(x-1)^2 ...(B)
xで微分
　6x+4=2(x+c)+4(x-1) ...(C)
(A),(B),(C)とも恒等式なので x=1とおいて
　3+a+b=0
　7+a=0
　10=2(1+c)
このa,b,cの連立方程式を解いて
　a=-7,b=c=4
このa,b,cを(A)に代入すれば(A)が成り立っていることが確認できる。

# この結果は前の解答と 一致していますね。

この回答へのお礼

ありがとうございました

とてもわかりやすかったです

お礼日時：2012/04/21 17:59