No.1
- 回答日時:
>1/(x^2 + 1)^n = {1/(x^2 + 1)^(n-1)} - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n}
の両辺をxで積分したら
In = I(n-1) - ∫[...]dx
ですよね。
そしたら右辺の第2項を部分積分すればいいんじゃないでしょうか。
なんとなくそう思っただけ(未確認)ですので間違っているかもしれません。
この回答への補足
恐らく積分をすると思うのですが、
{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}この部分をうまく作れないんです。
どのように積分すればイイのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
>{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}この部分をうまく作れないんです。
えぇと、難しく考えすぎてません?
1/(x^2 + 1)^n =”{1/(x^2 + 1)^(n-1)}” - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n}
これをxで積分すると、右辺の最初の項(”と”の間)に
{∫dx/(x^2+1)^(n-1)}=I(n-1)が出てきますね。
あとは、右辺の残りの部分を積分すれば、求める式が導けると思います。
この回答への補足
>1/(x^2 + 1)^n =”{1/(x^2 + 1)^(n-1)}” - (x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n}
えーっと、こっちから出てくるのは分かります。
問題は後半の方から出てくるヤツの出し方が分からないんです。
おねがいします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}この部分をうまく作れないんです。
これって、I(n-1)の部分でなくて、一番最後の"+{1/2(n-1)}{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}"
の 部分だったんですね。#2での回答は見当違いでした。すいませんでした。そのお詫びに遅くなってしまいましたが、後半の部分積分の方を。
f(x)=x/2、g'(x)= {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n}
とおきます。すると、
f'(x)=1/2、g(x)=-1/{(n-1)(x^2+1)^(n-1)}
となります。
∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx
に上のf(x),g(x),f'(x),g'(x)を代入して、整理すると、
∫(x/2) * {(x^2 + 1)'/(x^2 + 1)^n} dx
={(x/2)*[-1/{(n-1)(x^2+1)^(n-1)}] -∫[(1/2)*{-1/{(n-1)(x^2+1)^(n-1)}]dx
={ -x/2(n-1)(x^2 +1)^(n-1)} + {1/2(n-1)}{∫ dx/(x^2 +1)^(n-1)}
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