置換積分における置換演算について

f(x)に対する積分式について、計算のため、

t^2 = x-5

とおく変数の置換式を立てました。

この時、両辺をtで微分すると、

2t = dx / dt → 2t・dt = dx　という変換式ができます。

一方、両辺をxで微分すると、

dt^2 / dx = 1　→ dt^2 = dx という変換式ができます。

ここで、dt^2 = t・dtとみなして t・dt = dx という変換式として使っては「いけない」明確な説明は、どのようなものになるでしょうか?　(t^2という文字を更に別の文字に置換する必要がありますが、高校の数学教科書ではこのあたりが明確に示されていないようです。)

(置換積分の変換式の説明の際、「dx→dt」の置換方法は、合成微分の絡みから、「あたかも分数の掛け算をするように」求められると解説されることがあるようですが、その説明ではこの部分の説明がうまくできません。)

よろしくおねがいいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/06/10 22:13

合成関数の微分の公式から

dt^2/dx=dt^2/dt*dt/dx=2t*dt/dx=1
です。
よって
2tdt=dx
と

この回答へのお礼

確かに、tはxの関数ですね。理解できました。

お礼日時：2012/06/10 22:23

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/06/10 20:42

dt^2 / dx = 1　→ dt^2 = dx という変換式ができます。

＞
これは間違いです。
t^2 = x-5の両辺をxで微分すると、2tdt/dx=1になります。

この回答への補足

ありがとうございます。
経緯を教えていただけますか?

補足日時：2012/06/10 21:32