Oを原点とする座標平面上に円C1:x二乗+y二乗-12x-16y+96=0がある。
(1)円C1の中心の座標と半径を求めよ。
(2)円C1の中心をAとする。また、次の[1]~[3]の全ての条件を満たす円をC2とする。
[1]中心が線分OA上にある。
[2]半径が3である。
[3]円C1と外接する。
このとき、円C2の方程式を求めよ。
(3) (2)のとき、円C2の周および内部のうち、直線OAの下側(直線OA上の点を含む)の部分をDとする。点(x.y)が領域Dを動くとき、y-mxの最大値をmを用いて表せ。ただし、mは正の定数とする。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
#2です。
A#2の円C2について
#3さん、指摘有難う。
指摘通り、円C2の中心は「線分」OA上にあるという条件なので
0≦t≦1となり、t=1/2の方の円
>
が答えで
t=3/2の方の円
>
はOAの延長線上に中心があるので「線分」OA上に中心がある円ではないのでこの円は答えから外して下さい。
> t=1±(1/2)=3/2,1/2 ← 間違い
円C2の中心が線分OA上にあるから 0≦t≦1なので
t=1/2
>(★)に代入して
> (x-9)^2+(y-12)^2=3^2 ...(◆) ← 削除
>または ← 削除
> (x-3)^2+(y-6)^2=3^2 ...(◆)
>[1],[2],[3]を満たす円C2は(◆)の2通りある。←×
正:[1],[2],[3]を満たす円C2は(◆)だけ(1通り)。
#)野暮な条件の見落としミスで失礼致しました。
No.4
- 回答日時:
(1)円C1の中心の座標と半径を求めよ。
>x^2+y^2-12x-16y+96=(x-6)^2+(y-8)^2+96-36-64=0
(x-6)^2+(y-8)^2=2^2、
よって、中心の座標はx=6,y=8、半径は2・・・答え
(2)円C1の中心をAとする。また、次の[1]~[3]の全ての条件を満たす円をC2とする。
[1]中心が線分OA上にある。
[2]半径が3である。
[3]円C1と外接する。
このとき、円C2の方程式を求めよ。
>線分OAの長さ=√(36+64)=√100=10
円C2の中心を点Pとすると
線分PAの長さ=5
よって点Pは線分OAの中点となり、P(3,4)から
円C2の方程式は(x-3)^2+(y-4)^2=3^2・・・答え
(3) (2)のとき、円C2の周および内部のうち、直線OAの下側(直線OA上の点を含む)の部分をDとする。
点(x.y)が領域Dを動くとき、y-mxの最大値をmを用いて表せ。ただし、mは正の定数とする。
>円C2と直線y=(4/3)xとの交点Q,Rを求める。
(x-3)^2+(y-4)^2=3^2にy=(4/3)xを代入、整理して
(x-3)^2+{(4/3)x-4}^2=3^2、これを解いてx=24/5,6/5から
Q=Q(6/5,8/5)、R=R(24/5,32/5)
y-mx=Cとおくとy=mx+C
4/3≦mのときは点(x,y)が点QでCが最大になるので、
y-mxの最大値=(8/5)-(6/5)m=(8-6m)/5・・・(ア)
0<m<4/3のときは点(x,y)が点RでCが最大になるので、
y-mxの最大値=(32/5)-(24/5)m=(32-24m)/5・・・(イ)
よって、y-mxの最大値は
4/3≦mのとき(8-6m)/5、0<m<4/3のとき(32-24m)/5・・・答え
No.2
- 回答日時:
(1)
x^2+y^2-12x-16y+96=0
(x-6)^2+(y-8)^2=36+64-96
(x-6)^2+(y-8)^2=2^2
C1の中心座標A(6,8),半径2
(2)
C2の中心の座標を(6t,8t)(t<1)とおくとC2の方程式は
(x-6t)^2+(y-8t)^2=3^2 ...(★)
と書ける。[3]の条件から
(2+3)^2=(6-6t)^2+(8-8t)^2
25=(36+64)(t-1)^2
(t-1)^2=1/4
t=1±(1/2)=3/2,1/2
(★)に代入して
(x-9)^2+(y-12)^2=3^2 ...(◆)
または
(x-3)^2+(y-6)^2=3^2 ...(◆)
[1],[2],[3]を満たす円C2は(◆)の2通りある。
(3)
(2)の2つの円のそれぞれについて領域Dを
直線:y-mx=kが通るようなkの最大値求めれば良い。
m(>0)の値により場合分けする必要がある。
No.1
- 回答日時:
x^2+y^2-12x-16x+96=(x-6)^2+(y-8)^2-4
(x-6)^2+(y-8)^2=4
よってC1は(6,8)を中心とする半径2の円です。
直線OAはy=4x/3で表わされるので、C2の中心の座標は(t、4t/3)と表わされます。また、C1と外接することより、C2の中心と点Aの距離は5になります。従って
(t-6)^2+(4t/3-8)^2=25
t^2-12t+27=0
(t-3)(t-9)=0
t=3,9
よってC2は(x-3)^2+(y-4)^2=9 または(x-9)^2+(y-12)^2=9
y-mx=k とおくと、y=mx+k と変形出来ます。これは傾きm、y切片kの直線の式です。従って、kの最大値を求めることは、直線y=mx+kが領域Dと共有点を持ちながら座標平面上を色々動くときにそのy切片の最大値を求めることに他なりません。y切片が最大になるところを探すのだから、直線を出来るだけ上に上げて、領域Dと共有点がなくなるぎりぎりのところがどこか探せばいいわけです。
図を書いて確認して欲しいのですが、mの大きさによって上記のぎりぎりのところは変わってきます。
mが4/3より小さいとき、ぎりぎりの共有点は
円(x-9)^2+(y-12)^2=9と直線OAの交点のうち原点から遠い方になります。その座標は
C2の中心(9,12)から3の距離にあればいいので
(9+9/5、12+12/5)=(54/5、72/5)
となります。この座標をy=mx+kに代入して
72/5=54m/5+k
k=(72-54m)/5
mが4/3より大きい場合、ぎりぎりの共有点は
円(x-3)^2+(y-4)^2=9と直線OAの交点のうち、原点に近いほうになります。その座標はC2の中心(3,4)から3の距離にあればいいので・・・ あとは上記と同じなのでご自分で。
m=3/4のとき、ぎりぎりのところは直線y=mx+kが直線OAと重なるときで、このときy切片つまりkはゼロとなります。
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