A 回答 (2件)
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No.1
- 回答日時:
>∫1/(sin^2x+3cos^2x)dx
=∫{1/cos^2x)/{(sin^2x/cos^2x)+3}dx
=∫{sec^2x/(tan^2x+3)}dx
tanx=tとおくと、sec^2xdx=dt
=∫dt/(t^2+3)
=(1/√3)tan^-1(t/√3)+C
=(1/√3)tan^-1(tanx/√3)+C
でどうでしょうか?
No.2
- 回答日時:
sin と cos の分数式を積分するとき、つまり
2変数有理関数 f(u,v) があって ∫f(sinθ,cosθ)dθ を計算するとき、
t = tan(θ/2) で置換積分すると、有理式の積分に帰着できて
解決することが知られています。これは、広範囲に有効な
強力な算法なのですが、変換した後の積分計算が煩瑣になりがちで、
扱いにくい方法でもあります。
f(u,v) にある種の特徴があると、これより手軽な算法が使える
ことも、併せて知っておくほうが便利です。
今回は、その例。
f(u,v) が、u や v のどちらに関して偶関数だったり奇関数だったり
するときには、その特徴が使えます。
質問の被積分関数は、sin x についても cos x についても偶なので、
(sin x)^2 + (cos x)^2 = 1 を使って sin を消すと、
簡単な式に (cos x)^2 を代入したものになります。そこで、
1 + (tan x)^2 = 1/(cos x)^2 と
(d/dt)(tan x) = 1/(cos x)^2 を思い出せば、
t = tan x という置換が有効であることに気づくでしょう。
f(u,v) が u または v について奇関数である場合には、
例えば u について奇であれば、∫f(sinθ,cosθ)dθ を
t = cosθ で置換することが有効です。
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