積分

よろしくお願いします
∫1/(sin^2＋3cos^2)dx

No.1 回答者： ferien 回答日時： 2012/07/11 23:17

＞∫1/(sin^2ｘ＋3cos^2ｘ)dx

＝∫｛1/cos^2ｘ）/｛(sin^2ｘ／cos^2ｘ）＋3｝dx
＝∫｛sec^2ｘ／（tan^2ｘ＋３）｝ｄｘ
tanｘ＝ｔとおくと、sec^2ｘｄｘ＝ｄｔ
＝∫ｄｔ／（ｔ^2＋３）
＝（１／√３）tan^-1（ｔ／√３）＋Ｃ
＝（１／√３）tan^-1（tanｘ／√３）＋Ｃ

でどうでしょうか？

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/07/13 14:42

sin と cos の分数式を積分するとき、つまり

２変数有理関数 f(u,v) があって ∫f(sinθ,cosθ)dθ を計算するとき、
t = tan(θ/2) で置換積分すると、有理式の積分に帰着できて
解決することが知られています。これは、広範囲に有効な
強力な算法なのですが、変換した後の積分計算が煩瑣になりがちで、
扱いにくい方法でもあります。
f(u,v) にある種の特徴があると、これより手軽な算法が使える
ことも、併せて知っておくほうが便利です。

今回は、その例。
f(u,v) が、u や v のどちらに関して偶関数だったり奇関数だったり
するときには、その特徴が使えます。
質問の被積分関数は、sin x についても cos x についても偶なので、
(sin x)^2 + (cos x)^2 = 1 を使って sin を消すと、
簡単な式に (cos x)^2 を代入したものになります。そこで、
1 + (tan x)^2 = 1/(cos x)^2 と
(d/dt)(tan x) = 1/(cos x)^2 を思い出せば、
t = tan x という置換が有効であることに気づくでしょう。

f(u,v) が u または v について奇関数である場合には、
例えば u について奇であれば、∫f(sinθ,cosθ)dθ を
t = cosθ で置換することが有効です。