漸近展開について

漸近展開をo(x^3)を用いて書き表せ.

(1+x^2)cosx

という問題なのですが,

cosxのx^3の項までの漸近展開を求め, 用いることで

(1 + x^2) cos(x)
= (1 + x^2) (1 - 1/2 x^2 + o(x^3))　--- (1)

となったのですが, この段階で止まっています...

[答え]としては, ここから更に

= 1 - 1/2 x^2 + o(x^3) + x^2 - 1/2 x^4 + o(x^5)　となり,
= 1 + 1/2 x^2 + o(x^3)　となっています

どのようにすれば (1) から[答え]の形になるのでしょうか.

よろしくお願いします.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/07/18 23:04

展開する.

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/07/19 01:04

o(xのn乗) というのは、

f(x)/(xのn乗)→0 (質問の場合、x→0 のとき)
となる f(x) の総称です。
ですから、1・o(xの3乗) も o(xの3乗) になるし、
(xの2乗)・o(xの3乗) は o(xの5乗) になります。
f(x)/(xの3乗)→0 なら、
(xの2乗)f(x)/(xの5乗)→0 ですからね。
o(xの3乗)+o(xの5乗) が o(xの3乗) になることも
同様に示せるでしょう。