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合同式は分かりますよね。
(今年から新しく入ったんだっけ?)a,bを整数、pを素数とする。ここで(a+b)^p を展開した時にできる2項係数pCk はk=0,pを除きpで割り切れる。(二項係数が分からなければ数Aの教科書を)
従って、(a+b)^p=a^p +b^p である。
1^p≡1 mod p から初めて、順に、
2^p≡1^p+1^p≡1+1≡2 mod p,3^p≡2^p+1^p≡2+1≡3 mod p,・・・・
と、n^pまで同様のことをすると(帰納法)、すべての整数nについてn^p≡n mod pがわかる。
ここで合同式の定義からこのことは、n^p -n=n(n^(p-1)-1)がpで割り切れる・・・(*)という意味。
従って、nがpで割り切れなければ、(*)が成立するにはn^(p-1)-1がpで割り切れなければならないので、
n^(p-1)≡1 mod p となる。
どうですか???
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