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以下のような問題の微分方程式の解き方がわかりません。
一次形の応答を示す計測器のガラス温度計を考える。
今、温度xの液体中にガラス製の温度計を浸したとき
温度計の指示値がxになるまでに時間必要とする。
このとき、温度計の指示値yの時間tに対する変化の割合、すなわちdy/dtが
液体の温度xと温度計の温度yとの差に比例するならば
τ*dy/dt + y = x (τは時定数)
が成立する。
これをとくと
y = x{1-exp(-t/τ)}
となる。
この微分方程式の解き方がわかりません。
よろしくお願いいたします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
τ≠0とします.
初期条件がありませんが,解がy(t)=x(1-e^{-t/τ})となるなら,y(0)=0ですがそれでよいのですか.明示されていませんので初期条件未定のまま解きます.
いわゆる変数分離で解きます.
τdy/dt+y=x τdy/dt=-(y-x) dy/(y-x)=(1/τ)dt ∴-∫dy/(y-x)=(1/τ)∫dt -log|y-x|=(1/τ)t+C (Cは積分定数)
log|y-x|=-t/τ+C |y-x|=e^{-t/τ+C }=e^Ce^{-t/τ } y-x=±e^Ce^{-t/τ }
ここでA=±e^Cとおくと,y-x=Ae^{-t/τ}すなわち
y(t)=x+Ae^{-t/τ}
A=0としたときy(t)=xとなりますが明らかにこれも解です.だからAは任意定数としてよいです.
t=0とするとy(0)=x+A,A=y(0)-xこうして
y(t)=x+{y(0)-x}e^{-t/τ}
となります.y(0)=0ならy(t)=x(1-e^{-t/τ})となります.
丁寧に解説いただきありがとうございました。
初期条件が設定されていませんでしたが、y(0)=0で良さそうでした。
ありがとうございました。
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