証明教えてください

０≦ｘ≦π/2のとき（2x）/π≦sinxが成り立つことを証明せよ。
またこの式を用いて、０≦ｘ≦π/2のときcosx≦１－（ｘ＾２）/πが成り立つことを証明せよ。
解き方を教えてください。
詳しいとありがたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/21 01:00

ANo.1です．一か所訂正．

（前半）
f(x)=sinx-2x/π(0≦x≦π/2)とおくと，f(x)≧0を示せばよい．
f'(x)=cosx-2/π
f''(x)=-sinx≦0∴1-2/π=f'(0)≧f'(x)≧f(π/2)=-2/π

0<α<π/2，f'(α)=0(cosα=2/π)なるαがただ一つ存在するから，

0≦x≦αのときf'(x)≧0
α≦x≦π/2のときf'(x)≦0

∴f(0)≦f(x)≦f(α)(0≦x≦α), f(α)≧f(x)≧f(π/2)(α≦x≦π/2)

f(0)=0,f(π/2)=1-1=0であるから，0≦x≦π/2のときf(x)≧0である．（終）

（後半）
g(x)=1-x^2/π-cosx(0≦x≦π/2)とおくと，g(x)≧0を示せばよい．
g'(x)=-2x/π+sinx=f(x)≧0(0≦x≦π/2)(∵前半）
∴g(0)≦g(x)≦g(π/2)(0≦x≦π/2)

g(0)=1-1=0であるから，0≦x≦π/2のときg(x)≧0である．(終)

No.1 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/21 00:31

（前半）

f(x)=sinx-2x/π(0≦x≦π/2)とおくと，f(x)≧0を示せばよい．
f'(x)=cosx-2/π
f''(x)=-cosx≦0∴1-2/π=f'(0)≧f'(x)≧f(π/2)=-2/π

0<α<π/2，f'(α)=0(cosα=2/π)なるαがただ一つ存在するから，

0≦x≦αのときf'(x)≧0
α≦x≦π/2のときf'(x)≦0

∴f(0)≦f(x)≦f(α)(0≦x≦α), f(α)≧f(x)≧f(π/2)(α≦x≦π/2)

f(0)=0,f(π/2)=1-1=0であるから，0≦x≦π/2のときf(x)≧0である．（終）

（後半）
g(x)=1-x^2/π-cosx(0≦x≦π/2)とおくと，g(x)≧0を示せばよい．
g'(x)=-2x/π+sinx=f(x)≧0(0≦x≦π/2)(∵前半）
∴g(0)≦g(x)≦g(π/2)(0≦x≦π/2)

g(0)=1-1=0であるから，0≦x≦π/2のときg(x)≧0である．(終)