A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
>四面体OABCの辺ABを4:5に内分する点をD,
> 辺OCを2:1に内分する点をE,
> 線分DEの中点をP、直線OPが平面ABCと交わる点をQとする。
>(1)OA=a,OB=bOC=c(ベクトル)とおくとき、OPをa,b,c(ベクトル)で表せ。
> また、OPとOQの大きさの比|OP|:|OQ|を最も簡単な比で表せ。
OC=(2/3)OC=(2/3)c, OD=(5/9)OA+(4/9)OB=(5/9)a+(4/9)b
よって、
OP=(1/2)OD+(1/2)OE
=(1/2){(5/9)a+(4/9)b}+(1/2)・(2/3)c
=(5/18)a+(2/9)b+(1/3)c
△ABCで、AQとBCの交点をRとする。
BR:RC=t:(1-t)とすると、
AR=(1-t)AB+tAC
=(1-t)(OB-OA)+t(OC-OA)
=-a+(1-t)b+tc
A,Q,Rは一直線上にあるから、AQ=kARとおけるから、
AQ=k{-a+(1-t)b+tc}
OQ=OA+k{-a+(1-t)b+tc}
=(1-k)a+(k-kt)b+kt・c ……(1)
O,P,Qは一直線上にあるから、OQ=mOPとおけるから、
OQ=m{(5/18)a+(2/9)b+(1/3)c}
=(5/18)m・a+(2/9)m・b+(1/3)m・c ……(2)
(1)(2)より、係数比較して
1-k=(5/18)m, k-kt=(2/9)m, kt=(1/3)m
連立で解くと、k=2/3, m=6/5, t=3/5
よって、OQ=(6/5)OPだから、OP:OQ=5:6
>(2)△ABQと△ABCの面積比△ABQ:△ABCを最も簡単な比で表せ。
(1)より
t=3/5だから、BR:RC=3/5:2/5=3:2 ……(3)
k=2/3だから、AQ=(2/3)ARより、AQ:AR=2:3 ……(4)
△ABCと△ABRで、頂点をAと見ると高さは同じだから、(3)より
△ABR:△ABC=BR:BC=3:5より、△ABR=(3/5)△ABC
△ABRと△ABQで、頂点をBと見ると高さは同じだから、(4)より
△ABQ:△ABR=AQ:AR=2:3より、
△ABQ=(2/3)△ABR=(2/3)・(3/5)△ABC=(2/5)△ABC
よって、△ABQ:△ABC=2:5
図を描いて確認してみてください。
No.1
- 回答日時:
ベクトル記号省略します。
点Pは線分DEの中点であることより、
OP=1/2OD+1/2OE
=1/2(5/9OA+4/9OB)+1/2*2/3OC
=5/18OA+2/9OB+1/3OC
点O,P,Qh一直線上にあるから、実数kを用いて
OQ=kOP
=5k/18OA+2k/9OB+k/3OC・・・※1
点Qは平面ABC上にあるから、
5k/18+2k/9+k/3=1
5k+4k+6k=18
k=18/15=6/5・・・※2
よって、|OP|:|OQ|=5:6
(2)△ABQ:△ABC=QD:CD(∵C,Q,Dが一直線上にあること、点C、点Qから直線ABにおろした垂線の足をそれぞれH、H’とすると、三角形の相似の関係からQH:CH’=QD:CDがいえます)
QD:CDの比を求めます。
点Qは平面OCD上の点であるから、CQ=tCD(tは実数)とすると、
OQ=OC+CQ
=OC+tCD
=OC+t(OD-OC)=OC+t(5/9OA+4/9OB-OC)
=5t/9OA+4t/9OB+(1-t)OC
※1、※2より、
OQ=1/3OA+4/15OB+2/5OC
OA,OB,OCは一次独立だから、
5t/9=1/3、4t/9=4/15、1-t=2/5 よりt=3/5
よって、△ABQ:△ABC=QD:CD=2:5
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