図形の証明です。相似？手詰まりです！

AB=ACである二等辺三角形ＡＢＣの内部の１点Ｐから辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢにおろした垂線の長さをa,b,cとする。
bc=a^2
を満たす点Ｐは、三角形ＡＢＣの内心Ｉ、頂点Ｂ，Ｃを通る円上にあることを証明しなさい。

bc=a^2
より
a:b=c:a
かとは思いましたが、結論の「円上にあること」
に結び付けられません！
お力をお貸し下さい！

No.3 ベストアンサー 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/04/08 22:21

＞点Pから辺BC、CA、ABに下ろした垂線の足をDEFとする。

4点PDCEはPCを直径とする同一円周上にあるので、円周角の定理により、
∠PCE=∠PDE・・・・・(ア)。
4点PDBFはPBを直径とする同一円周上にあるので、円周角の定理により、
∠PBD=∠PFD・・・・・(イ)。
四角形PDCEとPDBFで∠DCE=∠DBFだから、∠DPE=∠DPF。題意より
PD/PE=PF/PDなので、△PDEと△PDFは同じ大きさの角を挟む2辺の比が
等しいので相似となり、∠PDE=∠PFDとなる。
よって(ア)(イ)より、∠PCE=∠PBD・・・・・(ウ)。
点Iは内心だから∠ICE=(1/2)∠ACB=(1/2)∠ABC=∠IBD・・・・・(エ)。
(ウ)(エ)より、∠PCE-∠ICE=∠PBD-∠IBD、すなわち∠PCI=∠PBIとなり、
点B、Cから、それぞれ線分PIを見込む二つの角∠PBIと∠PCIの大きさが
等しいので、四点共円定理(円周角の定理の逆)により、4点PBCIは共円
(同一円周上)である。(証明終わり)

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2013/04/08 21:32

＞∠ＰＣＤ＝∠ＰＢＦということでしょうか？

そうです。間違えました。


Ｐがどこにあっても、∠ＢＰＣが一定だということは理解できましたか。

円周角の定理とは「同じ弧に対する円周角の大きさは等しい」ですが、
その逆も成り立ちます。
「4点A,B,P,Qについて、P,Qが直線ABについて同じ側にあるとき，∠APB=∠AQB ならば，この4点は1つの円周上にある」
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%AD%A6% …

つまり、∠ＢＰＣが一定なら、ＰがどこにあってもＢ，Ｃ，Ｐは同じ円周上にあるということです。

この回答へのお礼

多々勉強になりました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2013/04/09 07:10

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2013/04/08 18:04

点Ｐから辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢにおろした垂線の足をＤ，Ｅ，Ｆとすると、

a:b=c:aだから、△ＰＤＥ∽△ＰＦＤ
これから、△ＣＤＥ∽△ＢＦＤ、△ＰＤＣ∽△ＰＦＢであることは容易に分かるでしょう。
つまり、∠ＰＣＤ＝∠ＰＦＢ

よって、∠ＰＣＤ＋∠ＰＢＤ＝∠ＰＦＢ＋∠ＰＢＤ＝∠ＡＢＤ　となり、
∠ＰＣＤ＋∠ＰＢＤは一定で、∠ＢＰＣも一定だから円周角の定理より点Ｐは同一円周上にある。

点Ｐは、Ｉ，Ｂ，Ｃの場合でも条件を満たすから、内心Ｉ、頂点Ｂ，Ｃを通る円上にある。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
∠ＰＣＤ＝∠ＰＦＢは
∠ＰＣＤ＝∠ＰＢＦ
ということでしょうか？
（間違っていましたらご指摘ください）
∠ＰＣＤ＋∠ＰＢＤは一定で、∠ＢＰＣも一定だから円周角の定理より点Ｐは同一円周上にある。
もう少し補足いただけるとわかりそうです。
お手数をおかけします。

お礼日時：2013/04/08 18:41