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著者: 久保亮五 大学演習熱学・統計力学 修訂版
P239 問18 からの質問です。
単原子分子N個からなる理想気体が温度Tのカノニカル分布をもつとき、その全エネルギーEの最も確からしい値E*を求め、カノニカル分布による平均値E'に一致することを確かめよ。

という問題の解説で、
理想気体の状態密度はE^{(3N/2)-1}に比例することが分かっているので、
exp(-E/kt)E^{(3N/2)-1} = max
を与えるE*は、(N>>1)両辺の自然対数をとって
-E/kT + 3NlogE/2 =max
から、両辺をEで偏微分すると、
-1/kT + 3N/2E* =0
となり、E*=3NkT/2 となる。

なのですが、最初の
exp(-E/kt)E^{(3N/2)-1} = max
の意味がわかりません。
なぜ状態密度とボルツマン因子をかけたのでしょうか。

最も確からしい値α*というのは
エントロピー S(E,N,V,α)=max
になるということでした。
エントロピーというのはボルツマンの関係式から
S=klogW (W:エネルギーがE~E+ΔE 中に存在しうる微視的状態数) です。
また、Wというのは状態密度Ωを用いるとW=ΩdE です。

自分が思うに、
exp(-E/kt)E^{(3N/2)-1} の部分はWのことだと思いました。
しかし、ボルツマン因子に状態密度をかけたものが状態数になる意味がわかりません。

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A 回答 (2件)

>logをとってEで微分することでlog(dE)の部分が消えるから、結局


>E^{(3N/2)-1}exp(-E/kT)

まぁ、間違った事は言っていないとは思いますが、確率ではなく確率密度を考えていると言った方が物理的には良いでしょう。



後半をきちんと読んでいませんでしたが、
>エントロピー S(E,N,V,α)=max
>S=klogW (W:エネルギーがE~E+ΔE 中に存在しうる微視的状態数)
これが「最も確からしい値」の定義であるのなら、exp(-E/kT)の因子は、熱浴の状態数(密度)から出てくる事になるはずです。
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この回答へのお礼

なるほど。
なんとか理解できそうです。

eatern27さん、ありがとうございました。

お礼日時:2013/06/03 23:46

例えば、離散的なエネルギーしか取らない場合であれば、



系のエネルギーがEである確率p(E)∝(エネルギーがEである状態の数)*exp(-E/kT)

を最大にするEが最も確からしい値だ、と言っている事になるのですが、これなら理解できますか?

この回答への補足

返答ありがとうございます。
exp(-E/kT)というのは、エネルギーがEという状態になる確率に比例する因子で、それにエネルギーがEになる状態数を掛けるということなので、たしかにこれは系のエネルギーがEである確率p(E)になりますね。

この問題では、エネルギーがEである状態の数というのは
E^{(3N/2)-1}dE
なので、これにexp(-E/kT)をかけてp(E)とし、これを最大にするものを求める際に、logをとってEで微分することでlog(dE)の部分が消えるから、結局
E^{(3N/2)-1}exp(-E/kT)
を最大にするものを考えるという解釈で良いのでしょうか?

補足日時:2013/06/02 11:09
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統計力学とかで出てくる分配関数(状態和)がありますが、物理的な意味がよくわかってません。
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どうかお願いします。

Aベストアンサー

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというように表すことが出来ますね。
このときの状態和は
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  =1
ということになります。

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さいころで言うと状態は「1の目が出ること」などに対応します。
この場合は6つの状態を取り得ますね。

>一個に対する状態和?
粒子が一個であっても e_n =(n+1/2)hν という結果を見れば、
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というようにとり得る状態は1つではないことがわかります。
あとは、先のさいころの例と同様に
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e_1 の状態にある確率が exp(-βe_1)
   :
ですからこれらの確率の無限和をとるだけです。


この質問とは関係ないですが、
その後、相対論の理解は進みましたか?

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというよう...続きを読む

QMaxwell速度分布の平均速度について

Maxwell速度分布から
平均速度:√(8kT/πm)
最大確率速度(Maxwell速度分布の極大値):√(2kT/m)
二乗平均速度の平方根:√(3kT/m)
が導かれますよね?これらの違いってなんでしょう?
数値の違いは明白なんですが、その差の意味するところがよくわかりません。またなぜこの3つが重要になってくるのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

ポイントのみを簡潔に。
速度分布関数をf(v)とすると
f(v)dv=4πNv^2exp(-mv^2/2kT)dv,N=(m/2πkT)^(3/2)  (1)
>最大確率速度(Maxwell速度分布の極大値):√(2kT/m)
これは読んで字のごとく速度分布関数が極値を示す速度(速度分布の最大速度)のこと。つまり、
 (∂f/∂v)=0  (2)
を満たすv(最大確率速度)。

>平均速度:√(8kT/πm)
これも速度分布の平均値、つまり平均速度のこと。
 v(平均)=∫[0,∞]vf(v)dv  (3)
     
>二乗平均速度
(3)と同様に計算して
 v^2(平均) =∫[0,∞]v^2f(v)dv
      =3kT/m  (4)
ところで運動エネルギーは(1/2)mv^2、1自由度当たりの運動エネルギーの平均値は等分配則より(1/2)kT、(並進)運動の自由度はx,y,z方向の3であることから
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(P.S)
分布データの平均値が0のとき、そのデータの2乗平均は分散とよばれ、2乗平均の平方根は標準偏差です。つまり2乗平均はばらつきを示す尺度の一つです。データの平均が0でない場合は2乗平均から”平均の2乗”を引いて分散が得られ、その平方根が標準偏差。くわしいことは統計のテキスト等を参照してください。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901697

ポイントのみを簡潔に。
速度分布関数をf(v)とすると
f(v)dv=4πNv^2exp(-mv^2/2kT)dv,N=(m/2πkT)^(3/2)  (1)
>最大確率速度(Maxwell速度分布の極大値):√(2kT/m)
これは読んで字のごとく速度分布関数が極値を示す速度(速度分布の最大速度)のこと。つまり、
 (∂f/∂v)=0  (2)
を満たすv(最大確率速度)。

>平均速度:√(8kT/πm)
これも速度分布の平均値、つまり平均速度のこと。
 v(平均)=∫[0,∞]vf(v)dv  (3)
     
>二乗平均速度
(3)と同様に計算して
 v^2(平均) =∫...続きを読む

Qボルツマン分布の導出

統計熱力学の基本原則として、ボルツマン分布が頻出します。
実用上はこのボルツマン分布を前提として議論をすればいいわけですが、ふと、このボルツマン分布はどういう原理から来たものだろうか、と気になりました。
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以上二点、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ボルツマン分布は、古典的な粒子の運動を取扱った気体分子運動論中で導出されています。

簡単な導出法を下記URLで紹介していますので参考にしてくださ。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5681690.html


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