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たとえば、
sin2θ + sinθ + cosθ
の取りうる範囲を求めるには、
t = sinθ + cosθ とおきかえすると、t^2 = 1 + sin2θなので、
sin2θ + sinθ + cosθ = t^2 - 1 + t
の取りうる範囲を求めればいいことになります。
次に、
sin3θ + sinθ + √3 cosθ
の取りうる範囲を求めるには、
t=sinθ+√3cosθとおきかえすると、じっくり計算して、
(1/2)(t^3-3t) =3sinθ-4sin^3θ= sin3θ
なので、
sin3θ + sinθ + √3 cosθ = (1/2)(t^3-3t) + t
の取りうる範囲を求めればいいことになります。
この種のおきかえの続きはあるのでしょうか。
t = a sinθ + b cosθとおきかえして、 sin(nθ)がtの多項式になるようにするには、a,bをどうすればよいのでしょうか?
この種のおきかえの背景には何があるのでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
昨日の続きですが、ヒントは参考になりましたでしょうか?
もう少し書けば、第一の例では、sin(2θ)=ーcos(2θ+90)と言うように,角が後半部分の合成関数の角 (θ+45)の倍角になります。
第二の例でも、前半部分を変形すれば、sin(3θ)=-sin(3θ+180)となり、後半部分
つまりtである合成関数の角の3倍になります。
このような関係のとき、前半部分が t で表すことが可能になります。
一般に、t = a sinθ + b cosθ=1/√(a^2+b^2) sin(θ+α) αは ベクトル(a,b)のx軸となす角
ですから、前半部分 sin(nθ)を変形して 角は sin(nθ+90m)・・・90mは、90度の倍数、とはできますから、
(θ+α)と(nθ+90m)の倍数関係から、α=90m/nとなるようなa,bに対してt で表すことが可能になります。
それが多項式になりうるかということ考えれば良いのではないでしょうか。
したがって、かなり限定されたものになってきますね。
No.4
- 回答日時:
回答になってませんがご参考までに。
これはチェビシェフの直交多項式系Tn(x)と関連が深い話でしょう。
Tn(x) (n=0,1,2,…)はxのn次多項式で、しかも直交性
∫[-1~1] (Tn(x)Tm(x)/√(1-x^2)) dx = (π/2) δm,n
を満たすもの、ってことですが、これは
Tn(cosθ) = cos(nθ)
という関係を満たしています。
というのは、上記の内積の式を変数変換すれば分かるように、単位円周上の点を極座標(r,θ)=(1,θ)で表し、単位円周上で定義される関数
f(θ) = cos(nθ)
を考えたとき、これを直交座標系 (x,y) = (r cosθ, r sinθ)の x軸上に投影したもの(yを無視したもの)に他ならないからです。(これが多項式(の-1~1の部分)になっちゃうのが面白いですよね。もともと円周上の三角関数だったものが、|x|>1の範囲にまで多項式として拡張できるわけで、このことは解析接続に利用できますが、それはさておき。)
なのでまた、f(θ)はリサージュ図形の特殊な例になっています。リサージュ図形ってのは、パラメータθで表される曲線
x = cos(mθ), y = cos(nθ+φ)
のことで、特にm=1, φ=0の場合がf(θ)に他なりません。で、
Tn(cosθ) = cos(nθ)
のθをθ+φか何かで置き換えて加法定理で展開してやれば、φによってイロイロな公式が出て来るんでしょうね。
No.1
- 回答日時:
こんにちは、面白い問題ですね。
この2つの例の場合、周期が問題になります。
後半の周期が同じ2つの式、つまり置き換える tの関数は、合成すると上の場合は45度、下の例では60度の移動になります。
これに対して前半の関数は上の場合は、tの周期に対して2倍、下の場合は3倍になります。
ここで、45度の2倍は90度、60度の3倍は180度となりますから、前半と後半の関数のグラフはそれぞれピークが同じいちになるようになります。(参考図)
このような場合に置き換えた t で前半の関数が表せると言うことになるのではないでしょうか。
係数 a,bは合成したときに、移動する角度が、180度の約数に限定されますね。
角度が、a/√(a^2+b^2) とb//√(a^2+b^2) に関係しますから、これと nの関わる周期 との関係なのでしょうか。
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