No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(2)の書き間違い修正:
Bの対角の1の数はrank(B)→B'の対角の1の数はrank(B)
(1)
Bの行ベクトルをb1,b2,…,bnとする。
ABの行ベクトルは全てこれらの行ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な行ベクトルの数≦Bの独立な行ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(B)
特にAが正則のときrank(B)=rank(A^-1(AB))≦rank(AB)なので
rank(AB)=rank(B)
Aの列ベクトルをa1,a2,…,anとする。
ABの列ベクトルは全てこれらの列ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な列ベクトルの数≦Aの独立な列ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(A)
特にBが正則のときrank(A)=rank((AB)B^-1)≦rank(AB)なので
rank(AB)=rank(A)
(2)
Bに行基本変形と列基本変形をそれぞれ繰り返し行い
対角に最初に1が並び後で0が並ぶの対角行列B'とする。
このときB'の対角の1の数はrank(B)である。
また適当なn次正則行列P,Qにより
B'=PBQ
とできる。
A'=AP^-1
とするとA'B'=ABQ=0なので
A'の最初のrank(B)列までの列ベクトルは全て0
よって
rank(A')≦n-rank(B)
しかるに(1)よりrank(A)=rank(A'P)=rank(A')なので
rank(A)≦n-rank(B)
No.1
- 回答日時:
(1)
Bの行ベクトルをb1,b2,…,bnとする。
ABの行ベクトルは全てこれらの行ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な行ベクトルの数≦Bの独立な行ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(B)
Aの列ベクトルをa1,a2,…,anとする。
ABの列ベクトルは全てこれらの列ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な列ベクトルの数≦Aの独立な列ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(A)
(2)
Bに行基本変形と列基本変形をそれぞれ繰り返し行い
対角に最初に1が並び後で0が並ぶの対角行列B'とする。
このときBの対角の1の数はrank(B)である。
また適当なn次正則行列P,Qにより
B'=PBQ
とできる。
A'=AP^-1
とするとA'B'=ABQ=0なので
A'の最初のrank(B)列までの列ベクトルは全て0
よって
rank(A')≦n-rank(B)
しかるに(1)よりrank(A)=rank(A'P)=rank(A')なので
rank(A)≦n-rank(B)
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 線形代数 正則 階数 3 2023/03/22 07:52
- PHP 【スプレッドシート】順位のつけ方 2 2022/08/17 13:27
- 大学・短大 | 1 -2 -2c+1| |2| A=| 2 -1 -c+2 | b=|2| | 1 -c+2 2 2 2023/05/14 21:42
- 数学 代数学のわからない問題を教えて頂きたいです。 つぎのn次正方行列の集合Hはn次一般線形群GL(n,R 5 2022/11/19 20:47
- 数学 Cはn次正方行列とする。Cが正則行列だから、 AB=C が成り立つ時、Aの階数はnである。 上記が成 1 2022/04/23 22:07
- Excel(エクセル) エクセルでの勤務表作成、インターバルの設定について 3 2022/06/03 15:35
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 数学 数2Bの数列の問題です。 自分は、 まず数列 an=ar^(n-1)と置き こちらの問題の、y= の 1 2022/07/07 16:26
- 物理学 熱力学 エントロピー 断熱自由膨張 熱力学第2法則 クラウジウスの不等式 2 2022/07/14 12:58
- 高校 数学 1 2022/05/08 16:59
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
おすすめ情報