全微分に関する問題です

関数　f(x,y,z) = axy^2 + byz + cz^2x^3

の x0=(1,2,-1)における方向微分係数の値が

　Ｖ= (1/√3,1/√3,1/√3)　の方向において最大であ

り、その値が　32√3　となるように a,b,c　の値を定

めよ。

という問題なんですが、イメージとしては x0 における接平面の傾き最大の方向ベクトルが V なのだと思うんです。

方向微分の定義から

　lim f(x0 + tV) - f(x0) / t = 32√3　(t→0）

計算をしたのですが、未知数が３っつあるのであと二つ式がいると思うのです。

　Ｖ = (sinφcosθ,sinφshinθ,cosφ）

として最大値を与えるように計算してみたのですが計算が煩雑になり未知数をうまく求めることができませんでした。しかもこの関数のグラフは４次元なのでこのＶの置き方に問題があるような気がしてきたのです。

どなたかよい回答をいただけないでしょうか？よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： keyguy 回答日時： 2004/03/26 02:43

「x=x0において」は「(x,y,z)=x0において」と書くべきでした

(x,y,z)=x0において
√((∂f/∂x)^2+(∂f/∂y)^2+(∂f/∂z)^2)=32・√(3)
(∂f/∂x):(∂f/∂y):(∂f/∂z)=1:1:1
より未知数がa,b,cの3つで式が3つだから解ける

理由は書く必要がないでしょうが念のため
x0を通る直線Lを引きLの方向余弦を(l,m,n)とすると
fのL方向の微分は
(∂f/∂x)・l+(∂f/∂y)・m+(∂f/∂z)・n
これはベクトル(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)とベクトル(l,m,n)の内積であるからそれらのなす角をθとするとこれは
√((∂f/∂x)^2+(∂f/∂y)^2+(∂f/∂z)^2)・cos(θ)
(偏微分は(x,y,z)=x0の点でのもの)
となる
この絶対値が最大になるのはcos(θ)=±1のときすなわち
l:m:n=(∂f/∂x):(∂f/∂y):(∂f/∂z)
(偏微分は(x,y,z)=x0の点でのもの)
のときでありその最大絶対値は
√((∂f/∂x)^2+(∂f/∂y)^2+(∂f/∂z)^2)
(偏微分は(x,y,z)=x0の点でのもの)
である

よって
(x,y,z)=x0において
√((∂f/∂x)^2+(∂f/∂y)^2+(∂f/∂z)^2)=32・√(3)
(∂f/∂x):(∂f/∂y):(∂f/∂z)=1:1:1
がでる

この回答へのお礼

お礼が遅れてしまい申し訳ございませんでした。
大変丁寧な説明を何度も推敲して書き込んでいただいてありがとうございました。私はこの方向ベクトルＶが与えられているものでなくてこの関数の式からこの方向が最大になることも求められるのだと勘違いしておりました。丁寧な説明のおかげで理解することができました。ありがとうございました。

お礼日時：2004/04/05 00:04

No.3 回答者： keyguy 回答日時： 2004/03/25 23:33

大変失礼しました

　
ほとんど考えずに解答したので馬鹿書いていました

x=x0において
√((∂f/∂x)^2+(∂f/∂y)^2+(∂f/∂z)^2)=32・√(3)
(∂f/∂x):(∂f/∂y):(∂f/∂z)=1:1:1
より
未知数がa,b,cの3つで
式が3つだから解けるはず

大変失礼しました

No.2 回答者： Nandayer 回答日時： 2004/03/25 23:02

　x0 における V に沿った f の方向微分は、

　　lim f(x0 + tV) - f(x0) / t 　(t→0）
ですが、
　 (df/dx, df/dy, df/dz)|x0 と V の内積
と一致するので、
　　(df/dx, df/dy, df/dz)|x0 が V 方向を向いている
ときが最大です。ここで、
　　　df/dx は f の x による偏微分
を表します。

　ちなみに、
　　　x0 における接平面の傾き最大の方向ベクトルが V
ではなくて、x-y-z 空間（３次元）で、
　　　x0 において f がもっとも増加する方向が V
です。

　以上、式が書き込めないので記法は適切ではありませんが、御理解いただけると思います。

この回答へのお礼

お礼が遅れてしまい申し訳ありませんでした。私の勘違いも訂正していただき大変勉強になりました。方向微分と内積の関係ももっとしっかり勉強して理解を深めたいと思います。今回は親切な回答ありがとうございました。

お礼日時：2004/04/05 00:09

No.1 回答者： keyguy 回答日時： 2004/03/25 23:01

x=x0において

df/ds=(∂f/∂x)・(∂x/∂s)+(∂f/∂y)・(∂y/∂s)+(∂f/∂z)・(∂z/∂s)
と
|df/ds|=32・√(3)
かつ
(∂f/∂x):(∂f/∂y):(∂f/∂z)=1:1:1
より
未知数がa,b,cの3つで
式が3つだから解けるはず
解答を補足に書いてください