空間ベクトルで図形の辺をベクトルで置くときと点を位置ベクトルでおく時がありますがどのように判断してお

空間ベクトルで図形の辺をベクトルで置くときと点を位置ベクトルでおく時がありますがどのように判断しておけばいいのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/23 12:18

「位置ベクトル」とは、座標の原点を基準として、ベクトルの「先頭」を座標上の「点」とするものです。

「原点」を座標にするので、「位置ベクトル」の成分は「先頭の座標」そのものに一致します。

「空間ベクトル」は、「２点間のベクトル」です。
ベクトルは起点の位置を移動しても「等価」ですから、この「空間ベクトル」の起点を「原点」に移動すれば、「空間ベクトル」の成分を原点を基準にした「位置ベクトル」先頭の「座標」で表せます。この成分は「移動する」ことを考えれば「元の空間ベクトル」の「先頭」の座標から「起点」の座標を引いたものになります。

つまり「空間ベクトル」の成分を「先頭」と「起点」の座標の差で表すということと、この「空間ベクトル」を「起点を原点に移動する」ことによって「位置ベクトル」にしたときの成分とすることは、同じことです。

「空間ベクトルは、空間の２点間で定義されるベクトル」「位置ベクトルは、その「２点」のうちの起点を「原点」としたもの」ということを理解して、どちらも「等価」であると考えれば、「どのように判断するか」という問題は生じないと思います。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/24 00:30

迷ったら、一律に位置ベクトルで考えればいいです。

図形の辺 AB をベクトル →AB で考えたいときは、
→AB = (→OB) - (→OA) を使って
位置ベクトルの差に後から名前をつけて扱えばいいのです。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/23 12:34

ベクトル方程式では、位置ベクトルが効果的なことが多いです

しかし、重要なことは位置ベクトルにするか否かではなく、始点をどこに統一するかということです
（ベクトルの矢印は省略）
例えば　PA+PB+PCという式が関連する問題で
始点をAに統一して、PA+PB+PC＝-AP+(AB-AP)+(AC-AP)=AB+AC-3AP…①とするか
始点をOに統一して、PA+PB+PC＝OA+OB+OC-3OP…②とするか　どちらが扱いやすいか判断することのほうが重要なのです

①が扱いやすいと判断した場合、AB=b,AC=c,AP=pという位置ベクトルに置き換えて　PA+PB+PC=b+c-3p…①’
として、①と①’ではどちらが見やすいか、式の意味がとりやすいか、記述の分量が少ないか　などを判断すればよいのです
（①、①’では式の意味はほぼ同じ）
②でも同じこと、OA=a,OB=b,OC=c,OP=pと置き換えるべきか否か、どちらがベターか判断です