線形代数の行列式と内積の問題です

nベクトルとmベクトルの内積を〈n,m〉で表す。a∈R^nとする。

n次正方行列A＝［a1 a2 a3 ・・・ an］に対して、

det(［〈ai aj〉］n×n)＝（ det(A) ）^2

を示せ。

［〈ai aj〉］n×nは、aijを（i,j)成分するn×n行列です。


転置を使って内積を表して証明するらしいのですが、方法がいまいち分かりません。

よろしくお願いします。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/15 02:02

実成分の列ベクトル a と b に対して、

内積 ＜a b＞ が行列積を用いて (bの転置)a と
書けることは、理解しておいたほうがよいです。

これを使って、行列 A の各列の内積を並べると、
[ ＜ai aj＞ ] = (Aの転置)A となります。
あとは、この式の両辺の det をとるだけ。

det(BA) = (det B)(det A) と
det(Aの転置) = det A も、
基本公式ですね。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/07/14 14:14

ヒントのまんまですが(^^;

(Aの転置)×A の i行j列成分は <ai aj>

だから、

det([<ai aj>]n×n)=det((Aの転置)×A) = det(Aの転置) X det(A) = det(A) X det(A)

No.1 回答者： berokanda 回答日時： 2013/07/14 02:20

(detA)^2=(detA^T)(detA)

を使います。ただし、A^TはAの転置行列。
左右逆にすると余計な手間がかかるので注意。

右辺を機械的に計算すればdet(［〈ai, aj〉］n×n)になります。
手を動かしてご自分でやってみてください。

この問題には別解があるのでついでにそれも考えてみると
いい練習になります。