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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(2)(3)はNo.2の人の回答で大丈夫。
問題は(1)で、これは「解なし」です。
というのも
*先ず∫[a→x] (x-t)f(t)dt = log(x)の両辺にx=aを代入すると、0 = log( a)で、a = 1となります。
*次に∫[a→x] (x-t)f(t)dt = log(x)の両辺をx で微分すると、No.1の人の通り
∫[a→x]f(t)dt = 1/xとなりますが、問題はこの式においてx=a (=1)を代入すると、0 = 1/a = 1となって矛盾します。
というわけで、例えば
∫[a→x] (x-t)f(t)dt = log(x) -x + 1とかでないと解けません。この時は、確かにf(x) = -1/(x^2)となります。
この回答への補足
丁寧に解説いただき、ありがとうございます。
姉に聞くと、どうやら(1)は解なしになるからわからないと言ったらしいです。
このような場合、回答用紙にはどのように書くのが適切なんでしょうか?
No.4
- 回答日時:
そこで、(3)についてもう一回見てみると、これもまず両辺にx=aを代入してa * log(a) + 1/e = 0となります。
感のいい人はa = 1/eと分かるかもしれませんが、でもa * log(a) + 1/e = 0を満すaが1/eしかないと断定するには、g(a) = a * log(a)の増減を調べなければならず、面倒です。そこで先に両辺をxで微分すると(1)と同様に、∫[a→x]f(t)dt = 1 + log(x)となります。ここでx=aを代入すると、 1 + log(a) = 0 となって、a = 1/eが出てくる。ここでさっきの式 a * log(a) + 1/e = 0を考えるとa=1/eはa * log(a) + 1/e = 0を満足するので矛盾はありません。
更に∫[a→x]f(t)dt = 1 + log(x)の両辺を微分して、f(x) = 1/xが出てきます。
ポイントは(1)も(3)もf(x)を出すのに2回微分をしないといけない点で、逆演算の積分を考えると積分定数が2つ出てきます。一つは決まっていない定数aに現れますが、もうひとつ足りません。結局(3)ではf(x) = 1/x, a = 1/eで「偶々合い」、(1)ではf(x) = -1/(x^2), a = 1でも「結局合わない」のです。
いずれにせよ、出て来たf(x)とaを元の式に代入してあっているか確認すれば、間違いは無くせます。
No.1
- 回答日時:
それでは(1)だけ
∫{a~x}(x-t)f(t)dt=logx
∫とdtの中を分解します
∫{a~x}xf(t)dt - ∫{a~x}tf(t)dt=logx
∫dtとなってるからxは定数扱い出来るので
x∫{a~x}f(t)dt - ∫{a~x}tf(t)dt=logx
両辺xで微分すると微積分の基本定理から∫の上にxがついてるときは∫とdtの中のtをxに書き換えたものが出るので、
(x∫{a~x}f(t)dt)' - (∫{a~x}tf(t)dt)'=(logx)'
一番左の項は積の微分になってることに注意して
∫{a~x}f(t)dt + xf(x) - xf(x)=1/x
綺麗にxf(x)が消えて
∫{a~x}f(t)dt=1/x
もう一度xで両辺微分して
f(x)=-1/x^2
∫{a~x}(x-t)f(t)dt=logxのxにaを入れると
0=loga
これを満たすaはa=1のみ
以上よりf(x)=-1/x^2、a=1
ミスがあったらすみません
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