偏微分と全微分

偏微分、全微分の問題です

解き方を教えてくださいm(_ _)m
f（x,y）=x^2sin（1/x） （x≠0）、0（x=0）

（1）fx（0.y）、fy(0.y)を求めよ。

(２)fx(x.y)はどこで全微分可能か、またそこで全微分せよ。


よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/27 14:24

f(x,y) = (x^2)sin(1/x)　　(x≠0),

f(x,y) = 0　　(x=0)
なんですね？

これは、全微分可能⇒偏微分可能 だが、偏微分可能⇒全微分可能ではない。
偏導関数が連続⇒全微分可能 ではある　…ということの確認だと思います。
(x^2)sin(1/x) の x=0 での振る舞いは、D1級だが C1級ではない関数
の有名な例だからです。

(1)
fx(x,y) = (2x)sin(1/x) + (x^2)cos(1/x)(-1/x^2)　　(x≠0),
fx(x,y) = 0　　(x=0 でも微分可能).
fy(x,y) = 0　　(定数関数)
なので、

fx(0,y) = 0,
fy(0,y) = 0
です。

(2)
x≠0, y任意の範囲では、fx, fy が連続なので、f は全微分可能。

あれ？ fx(x,y) の全微分可能性か…

x≠0 で全微分可能なのは、fx(x,y) でも同じです。そこでは、
dfx(x,y) = fxx(x,y)dx + fxy(x,y)dy
= {(2-(1/x^2))sin(1/x) - (2/x)cos(1/x)}dx + 0dy
と書けます。

x=0 では、fx(x,y) は、x で偏微分不可能なので、全微分可能ではありません。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/07/27 10:57

問題を投稿したら正しく問題が投稿されているか確認しましょう。

>f(x,y）=x^2sin（1/x） （x≠0）、0（x=0）

f(x,y)はx,yの関数ですが、右辺はxだけの関数となっています。
f(x,y)の定義式が間違っていませんか？

訂正して補足に書いてもらえませんか？