2点を通り、平面1に垂直な平面2の求め方

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質問者：-lagoon-
質問日時：2013/07/31 03:23
回答数：4件

A=(2,1,-1),B=(3,2,1)を通り,平面4x-y-z+2=0に垂直な平面のとき方を教えてください

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回答 (4件)

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No.2ベストアンサー

回答者： info22_
回答日時：2013/07/31 06:26

ベクトルABをAB↑と書き、

点A,点Bの位置ベクトルをそれぞれA↑,B↑と書くことにします。
A↑,B↑は成分表示は座標と同じになります。

A,Bを通る直線の方向ベクトルAB↑は
AB↑=B↑-A↑=(3,2,1)-(2,1,-1)=(3-2,2-1,1-(-1))=(1,1,2) ...(1)

平面4x-y-z+2=0　...(2)
の法線の方向ベクトルC↑は
C↑=(4,-1,-1) ...(3)

従って2点A,Bを通り平面(1)に垂直な平面上の任意点P(x,y,z)は媒介変数s,tを使って
P↑=(x,y,z)
=A↑+sAB↑+tC↑=(2,1,-1)+s(1,1,2)+t(4,-1,-1)
=(2+s+4,1+s-t,-1+2s-t)　...(4)
と表すことができます。
(4)は2点A,Bを通り平面(1)に垂直な平面の媒介変数表示になります。
点P(x,y,z)のx,y,zは
x=2+s+4t ...(5-1), y=1+s-t ...(5-2), z=-1+2s-t ...(5-3)
となります。
これから媒介変数s,tを消去すればs,tを使わない平面の方程式が得られます。
(5-2)-(5-3)から
　y-z=2-s → s=2-y+z ...(6)
(6)を(5-2)に代入して
　t=1+s-y=3-2y+z ...(7)
(6),(7)を(5-1)に代入すれば
　x=4-y+z+12-8y+4z=16-9y+5z
移項して
　x+9y-5z-16=0 ...（答え）

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます

A,Bをとおり、平面1に垂直だから法線ベクトルは平面2上にあるからAb↑
とc↑でパラメータ表示にしたという解釈でよろしいでしょうか

詳しく書いていただきわかりやすかったです

ありがとうございました

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お礼日時：2013/07/31 08:49

No.4

回答者： noname#182106
回答日時：2013/07/31 15:53

訂正

2元1次式→3元1次式

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No.3

回答者： noname#182106
回答日時：2013/07/31 15:52

求める平面の法線ベクトルをm↑ とすると、

m↑は平面 4x-y-z+2=0 の法線の方向ベクトルn↑=(4,-1,-1) と
AB↑=(1,1,2) に垂直。

本来なら外積で m↑=n↑×AB↑=(-1,-9,5) とするのですが、
高校数学では外積は禁じ手なので、
m↑=(s,t,u) として垂直条件　m↑・n↑=0, m↑・AB↑=0 を解きます。

連立方程式 4s-t-u=0 かつ s+t+2u=0 は
2元1次式で式が2個、つまり比例式なので t=9s, u=-5s となります。

ただ、s≠0（s=0 のとき t=u=0 となり、m↑≠0↑に矛盾）を確認しておけば、
初めから m↑=(1,t,u) として解いて、m↑=(1,9,-5) で十分です。

つまり、法線ベクトル m↑=(1,9,-5) で点A(2,1,-1) を通る平面
(x-2)+9(y-1)-5(z+1)=0
x+9y-5z-16=0
が求める平面です。