「高校数学で分かるフーリエ変換」という本(ブルーバックス)内の記述に関する質問です。
当方は初学者ですので,とんちんかんな質問があると思いますが,よろしくお願いします。
質問の前提となる記述は次のとおりです。
ある振動数fの電界の波がE(f)のサイン波なので,E(f)=exp(-a(f-f0)^2 × sin(-ωt)
このサイン波を全振動数に関して足すと(積分すると)時間軸上の電界パルスE(f)ができる。
E(t)=∫(exp(-a(f-f0)^2 × sin(-ωt))df
=∫(exp(-a(f-f0)^2 × Im[exp(-iωt)])df
最終的に,E(t)とE(f)の関係がフーリエ変換になっている。
質問です。
1 本を読む限り,「ある関数f(t)をフーリエ変換する場合,exp(-iωt)をかけて,時間で積分する。」と理解できるのですが,上記の式は,exp(-iωt)をかけて,時間で積分した形跡がないのにどうしてフーリエ変換したことになるのでしょうか。
2 振動数の関数を時間の関数にするために,F(t)=∫g(f)exp(iωt)dfをフーリエ逆変換との記述を見たことがありますが,正しいでしょうか。正しいとするなら,1はフーリエ逆変換なのでしょうか。
(式の前に1/2πなどが付くことがありますが,省略しています。)
3 E(t)=∫(exp(-a(f-f0)^2 × sin(-ωt))df
=∫(exp(-a(f-f0)^2 × Im[exp(-iωt)])df
sin(-ωt)df=Im[-ωt] この意味が分かりません。Imは複素数の虚部を表しているとは思うのですが・・・。
以上,要領を得ない質問ですがよろしくお願いいたします。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
補足をもう一度読み直してみました。
どうも、質問者さんが誤読しているようです。ここで書いているのは、おそらくはこんな文脈です。
1.まず、
>E(f)=exp(-a(f-f0)^2 × sin(-ωt)
というサイン波を考える。
2.これを全てのfについて足し合わせる=積分する(フーリエ変換ではなくただの積分)
>E(t)=∫(exp(-a(f-f0)^2 × sin(-ωt))df
書かれているのは、
>このサイン波を全振動数に関して足すと(積分すると)
で、フーリエ変換するとは書いてありませんよ。
※ この手続きは、ωが整数で指定される場合、フーリエ級数展開の考え方そのものですから、まずはフーリエ級数展開をかんがえると、この手順が腑に落ちるようになるのではないかと思います。
3.この積分の形を見ると、sin(-ωt)がexp(-iωt)の虚部なので、exp(-a(f-f0)^2)という関数のフーリエ変換
∫(exp(-a(f-f0)^2)×exp(-iωt)df
の虚部に等しい。
この回答への補足
何度も回答ありがとうございました。
御指摘のとおり,該当の本に「フーリエ変換する」とは書いてありません。
E(f)=exp(-a(f-f0)^2 × sin(-ωt)をdfで積分すると書いてあるだけです。
※ フーリエ級数展開の考えそのものという点も理解できました。
その上で,まだ分かっていない点があるのですが,
exp(-a(f-f0)^2)という関数のフーリエ変換
∫(exp(-a(f-f0)^2)×exp(-iωt)df の虚部に等しい。
という点に関して再度教えていただけないでしょうか。
該当本は,
E(f)=exp(-a(f-f0)^2 × sin(-ωt)
E(t)=(√(π/a’)exp(-(π^2・t^2)/a’) × sin(-ω0t)
「数学的にはこの関係がフーリエ変換になっている。」と結んでいます。
E(f)とE(t)は関数の形を見る限りにおいては,互いにフーリエ変換と逆変換の関係になっていそうだということは理解できます。
ただ,回答者様が書いてあるとおり,「積分の形が,exp(-a(f-f0)^2)という関数のフーリエ変換の虚部に等しい。」だけです。
そこで質問なのですが,
実部はどこに行ったのでしょうか。(実部もあるなら,積分の形を見比べて,互いにフーリエ変換の関係という記述も納得できる気がするのですが・・・)
しばらくそのままにしていたのですが,そろそろ締切とさせていただきます。
一部の疑問がそのままになってしまいましたが,またゆっくり考えたいと思います。
私の要領を得ない質問に何度も御回答いただいた皆様本当にありがとうございました。
No.5
- 回答日時:
>ある振動数fの電界の波がE(f)のサイン波なので,E(f)=exp(-a(f-f0)^2 × >sin(-ωt)
> このサイン波を全振動数に関して足すと(積分すると)時間軸上の電界パルスE(f)ができる。
> E(t)=∫(exp(-a(f-f0)^2 × sin(-ωt))df
> =∫(exp(-a(f-f0)^2 × Im[exp(-iωt)])df
なんかへん。括弧の位置も変だし、なんで sin 側だけ???
説明の途中の断片をさらに写し間違った感じです。
E(t)=∫e^(-a(f-f0)^2)・exp(i・2πft) df
のはず。で、これはフーリエ逆変換で、フーリエ変換では有りません。
この回答への補足
括弧の位置がおかしかったです。
E(t)=∫((exp(-a(f-f0)^2) × sin(-ωt))df
=∫((exp(-a(f-f0)^2) × Im[exp(-iωt)])df
No.4
- 回答日時:
1.は2.で解決してると思うので,3.だけ。
e^(-iθ) = cos(-θ) + i sin(-θ)
この回答への補足
3については明解な説明ありがとうございました。cosが偶関数 sinが奇関数であることに着目できていませんでした。
それで,理解が悪くて申し訳ないのですが,1は2で解決しているという意味がよく分かりません。もしよろしければ補足いただけると助かります。
No.3
- 回答日時:
1. フーリエ変換は元々三角関数による変換です。
フーリエ変換の基礎となるフーリエ級数展開はある周期関数を三角関数で展開することを言います。指数関数にするのは取り扱いの利便性による書き換えです。フーリエ級数 三角関数による展開
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC% …
2. こだわれば逆変換です。が,しばしばフーリエ変換と逆変換をまとめてフーリエ変換といってしまうこともあります。本質的に差はないので。
特にここでは
>最終的に,E(t)とE(f)の関係がフーリエ変換になっている。
なので,これをきちんと書けば「E(t)とE(f)はフーリエ変換とフーリエ逆変換でたがいに変換可能な関係になっている」という感じですね。
3. 質問文に書かれているとおりです。
オイラーの公式というのがありまして,
e^(iθ) = cosθ + i sinθ
という関係が恒等的に成り立ち,sinθはe^(iθ)の虚部です。
オイラーの公式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4% …
世界で一番美しい公式とも言われていますので,ぜひ覚えましょう。
この回答への補足
早速の御回答ありがとうございました。ただ,まだ分からない点があります。
1について
方法論的な理解で本質を理解していないのかもしれませんが,
ある関数f(t)にexp(-iωt)をかけて時間で積分すると理解しています。もちろん,オイラーの公式から exp(-iωt)=cos(ωt)-isin(ωt)ですから,指数関数をかけ算しているのは取扱の都合であることも承知しております。
私の疑問は
E(t)=exp(-a(f-f0)^2 × sin(-ωt)という関数のフーリエ変換なのですから,フーリエ(逆)変換するなら,
E(t)=∫[-∞ ∞]exp(-a(f-f0)^2 × sin(-ωt)×exp(-ωt)dω
としなければならないのではないかと考えたのです。
2について
非常によく分かりました。「フーリエ変換と逆変換で互いに変換可能」という表現がぴったりですね。
3について
exp(-iωt)=cos(ωt)-isin(ωt)の虚部の部分します。
Im[exp(-iωt)]=-sin(ωt)なら理解できます。
ただ,私が読んでいる本には,
Im[exp(-iωt)]=sin(-ωt)とあります。sin(マイナスωt)このマイナスがどこに行ってしまったのでしょうか。
説明が悪くて申し訳ないのですが,再び御回答いただけると助かります。
No.1
- 回答日時:
フーリエ変換は、最終的には簡単な式になります。
その理由は Exp(ix) 関数は、微分しても、積分しても Exp(ix) のままだからです。同じ理由から、フーリエ変換と逆フーリエ変換は、同じ形をしています。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 離散フーリエ逆変換が周波数分割数をNにできる理由について 4 2022/09/18 12:56
- 数学 数学の質問です。 関数f(t)のフーリエ変換をF(ω)=∫[-∞→∞]f(t)exp(-iωt)dt 1 2023/07/29 01:08
- 工学 周波数fで表現したフーリエ変換の対称性に関する質問です。 1 2022/09/14 12:27
- 数学 f(x)=exp(-(2x-a)^2)のフーリエ変換の求めろという問題分かりません。教えて欲しいです 2 2022/12/18 18:15
- 数学 フーリエ変換後の負の周波数成分の扱いについて 4 2022/09/03 10:18
- 物理学 量子力学 球面調和関数 導出 方位角成分 微分方程式の解 2 2022/07/02 13:40
- 数学 フーリエ級数係数 2 2023/06/04 14:29
- 物理学 フーリエ変換の振幅について 1 2022/09/04 08:56
- 数学 フーリエ変換、逆変換の「2π」の扱いについて 3 2022/10/07 08:31
- 物理学 しかし、ハイゼンベルクの式はフーリエ級数にはなっていない qn(t)=ΣQ(n;m)exp{iω(n 1 2022/05/03 09:31
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
伝達関数とゲインについて
-
減衰係数の単位換算
-
重力加速度
-
2自由度系の固有振動数
-
共振器のQ値とは
-
バネに取り付けたおもりを回転...
-
周波数差Δωを波長差Δλに変換する式
-
角速度ベクトルについて
-
物理の回路の問題です (2)の一...
-
可動コイル型の検流計に関する...
-
物理 LC振動の一般解について
-
オイラーの公式
-
i(t)=I・sin(ωt+θ)を複素数表示...
-
最高角加速度の求め方
-
角速度と角周波数の違いを教え...
-
物理です (4)のθとθ•の求め方が...
-
単振動の微分方程式 x=Acos(ωt...
-
半径がr[m]のタイヤが角速度ω[r...
-
相互誘導回路でコイルの向きを...
-
減衰振動
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
RL-C並列回路のインピーダ...
-
電荷qの荷電粒子が角速度ω、半...
-
遮断周波数と時定数について質...
-
共振器のQ値とは
-
2自由度系の固有振動数
-
物理の回路の問題です (2)の一...
-
減衰係数の単位換算
-
回転運動の粘性抵抗の測定
-
複素振幅ってなんですか?
-
リサジューの作図法
-
RL直列回路の電流ベクトルの...
-
単振動、 単振り子の最下点の速...
-
微分方程式 重ね合わせの原理
-
リサージュ図形
-
半径がr[m]のタイヤが角速度ω[r...
-
大学の物理が難しすぎることに...
-
オイラーの公式
-
交流回路でjは、なぜ数字の前...
-
単振動の微分方程式 x=Acos(ωt...
-
慣性モーメントについて
おすすめ情報