結晶中の電子の密度とフーリエ変換

結晶物理学をほぼ独学で学んでいる途中なのですが、なぜ結晶中の電子密度が下の式のように表されるのか理解できなくて困ってます。

結晶は周期的に並ぶので、Tを格子並進操作とすれば電子密度はｎ（ｒ）＝ｎ（ｒ＋T）が成り立つのは分かります。ですがなぜ位置ｘの電子密度が下の第１式のようになるのか理解できません。周期的だからといっても平面波の式を使って表される理由や、第２式のように突然平面波に逆格子ベクトルが出てくるのか分かりません。それにシグマ記号の下にあるｐは何を意味しているのかも分からないです。参考書には「ｐは整数」と書いてあるだけでどういう量でどこからやって来たのでしょうか。同様に第２式のシグマ記号の下の逆格子ベクトルGも何故あんな所にいるのでしょうか。数学ではシグマの下は「ｋ＝０」などの和を取り始める初項を意味する物が入りますが、Gの文字だけがあるだけでどのように和を取っているのですか？

そもそもどうしてフーリエ変換で電子密度が表せるのでしょうか。フーリエ変換はある程度やりましたが、数学的な計算処理が主で実際の物理量を表現できるという原理が想像できません。またそれぞれの式のｎの表している量は具体的に何においての密度なのでしょうか。添え字があるのでそれに対応させてはいるのでしょうが、本にはn_pやn_Gの説明がありません。n_Gも電子の密度を表しているのだと思いますが、Gは何を意味しているのですか？

質問

(1)第１式のように平面波の式とフーリエ展開を用いて電子密度を表せる理由
(2)ｐという文字の意味と、シグマ記号の下にあるｐやGは何を意味しているのか
(3)n_pとn_Gは何を表しているのか。第３式はどういった物理量を体積分しているのか

(1)、(3)に関しては数式より、おおまかなイメージで説明してもらえると有り難いです。詳しい方がいらしたら教えて欲しいです。お願いします。m(__)m

No.2 ベストアンサー 回答者： sa10no 回答日時： 2013/11/13 17:13

(1)任意のなめらかな周期関数はフーリエ級数展開できます。

(2)展開係数のラベルです。フーリエ級数展開はフーリエ変換を離散化したものなので積分が和に置き換わっているわけです。Gはpを単に3次元に拡張したものです。

(3)ある周期関数を色々な周期の指数関数の重ね合わせと皆しているわけですが、各指数関数がどれくらいの重みで足されているかを表す量です。そういう意味でスペクトルとも言えるのでは。

この回答へのお礼

ただのラベルでそれほど気にする物ではなかったのですね。

しかし自分の説明が悪かったせいで、最も分からなくて困っている箇所の回答が無かったのでまた後で質問させてください。

この度は有難うございました。

お礼日時：2013/11/15 12:26

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2013/11/13 16:15

＞周期的だからといっても平面波の式を使って表される理由や、

フーリエ級数展開。
区分的になめらかな任意の周期関数は三角関数で合成できるという数学上の定理(？)です。(1)の式はその複素数表示。

フーリエ級数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC% …

(3)式はフーリエ係数で，ある周期関数が

f(x) = 5 sin(x) + 3 sin(2x) + 7 sin(3x)

と書けたとしたときの5, 3, 7という係数にあたります。

質問の(1),(2),(3)はいずれも数学上の手続きに関する物で電子密度に限らないことなので，とにかく三角関数に分解できるというところを飲み込まないとどうしようもないのでは？

この回答へのお礼

ただの印であり、本でもその後は特に触れられていないのであまり深く考える事は無かったのですね。

ですがまだ理解できない点が残ってるので、また質問させてください。
この度は有難うございました。

お礼日時：2013/11/15 12:26