ブロッホの定理とは何を証明してるのですか？

数式で色々と計算して波動関数の周期性を説明しているのだと思いますが、ブロッホの定理は結局何を意味しているのでしょうか。結晶のように周期ポテンシャルが存在すれば、そりゃあ電子の波動関数も周期的に分布するのでは？と、素人の浅はかな考えを持ってしまっていて、定理の意味やその重要さが見えないままでいます。

どなたかブロッホの定理が示す意味・ブロッホの定理のおかげ可能になった事・理論or工学への貢献などを教えてもらえませんか。

No.8 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2013/12/02 13:26

基本並進ベクトル分だけ波動関数を平行移動した時に、もとの波動関数にならなくても位相因子がずれる分には同じ状態である事に変わりはないので何も問題ないんですよ。

そしてその位相因子がどういう形になるかを言っているのがBlochの定理です。

この回答へのお礼

意味がよく分かりました。有難うございました。

お礼日時：2013/12/09 05:18

No.7 回答者： eatern27 回答日時： 2013/12/01 17:52

波動関数そのものは必ずしも結晶と同じ周期性は【持たない】のですが、この点を誤解されていませんか。

この回答への補足

結晶中においても波動関数が結晶と同じ周期性を持たない事があるのは知りませんでした。
質問のテーマとはズレますが、それはどういう場合の時なのか教えてもらえませんか？

補足日時：2013/12/01 22:05

No.6 回答者： tjiao 回答日時： 2013/11/27 03:21

これの後半読んでみて

http://www.tl.fukuoka-u.ac.jp/~suzuki/ElectroPhy …

No.5 回答者： tjiao 回答日時： 2013/11/27 00:42

波動関数の周期性を保証する範囲はどの辺までだと思いますか？

No.4 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2013/11/26 22:14

No.3さん、それはごもっともですが、そもそも論で説明に結晶内の電子を波動的に扱うという仮定が抜けてる。

電子の粒子性と波動性から出発して、古典論と量子論の違い比較をさせないと一向に「理解した」とは言い難い。
結晶内では波動として扱いが、それが周期ポテンシャルを持つ場合と持たない場合の両方を説明できますか？

ここで根幹を理解させずに進むのが、教える側と学ぶ側双方の問題だと思うのですが。

No.3 回答者： mazinnkenn 回答日時： 2013/11/26 21:36

ブロッホの定理は、bad_dokinchan さんがおっしゃった”結晶のように周期ポテンシャルが存在すれば、そりゃあ電子の波動関数も周期的に分布するのでは”という考えを数学的に厳密に証明したものです。

たとえば周期的な構造をもつものとして、塩化ナトリウムや金属等の結晶が挙げられます。
この結晶全体(肉眼で見えるくらいの大きさのもの)の波動関数を求めるとき、ブロッホの定理が存在しなければ、すべての原子(10＾23オーダー)を考えなければなりません。そのため計算が膨大になり、現実的に解けない問題になります。
ここでブロッホの定理を用いると、波動関数に周期的境界条件という強力な制約がかかるため、結晶中の単位胞の中の波動関数だけを考えれば、結晶の全体の波動関数が分かるので、10＾23オーダーの数の原子からなる結晶の性質を理解することができます。これがブロッホの定理の重要な働きの1つです。

具体的な応用例では、第一原理計算という物性を予測するための計算にブロッホの定理が絶大な働きをしています（というかブロッホの定理がなければ結晶の物性の予測はほぼ不可能です）。

No1の方がおっしゃるように、そのような疑問は本来、本やインターネットを通じて自分で調べていくべきものです。特に大学で学んでいることは専門的な内容であり、研究室に入るとまだ分かっていないこと、新しいことを自分で論文で調べ解釈していくようになるため、自分で学んでいく力が必要になります。
抽象的な理論をどう現実の現象や、実際の応用に活かしていけるのかを考えることは理系の人間でなくとも必要な力なので、自分で考える癖をつけていき、それでもわからなかったら他人に意見を求めていきましょう。

No.2 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2013/11/26 18:41

No.1ですが、意地悪したくて言っているわけではありません。

単にどこまで考えてこういったことを言っているか知りたいのと、あなた自身の質問の意図を汲み取りたいだけです。

ブロッホの定理があると仮定したときの世界と無いときの世界の二つを考察して欲しい。
ブロッホの定理は数学的だが、それが必要とされる理由、なければならない理由を学ぶ上で必要だからです。

物理はどうやって発展してきたかを知ってもらうことで、こういった質問を減らしていきたい。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

質問内容はブロッホの定理の意味が分からないので教えてくださいというよりは、その定理の重要性を教えて欲しいという事です。
例えば三平方の定理は【直角三角形の２辺a,b、斜辺cの間にはa^2+b^2=c^2が成り立つ。】という物ですが、この仮定からすぐに「a^2+b^2=c^2が成り立つのは当然でしょ」と容易に結果を想像できる人はあまりいないと思います。補助線を引いたり、図形を描いたりと色々な証明方法があると思いますが、その結果としてa^2+b^2=c^2の関係式を導き出し確かに成り立つ事を確かめています。その定理が確かに成り立つので、直角三角形を考える事により色々な長さを求める事が出来るようになったと思います。
ですが今回の場合ですと、結晶のように周期を持つ構造ではブリルアンゾーンと同様に１つの単位胞を考え、それが周期的に並んでいるだけという前提のように捉えていたので、ならば波動関数も周期的に存在するだろうと考えていました。つまり自明とまでは言えませんが仮定から結果が既に見えてしまっていたということです。１＋１＝２が成り立つのは当然であって（代数学の世界の上では分かりませんが）一々証明しないのと同じように、仮にブロッホの定理があっても無くても、波動関数も周期的に分布するのは周知（前提）であると思い込んでいたために、長々と計算をしてまで証明するほど重要な事とは思えず、ブロッホの定理の価値が分からなかったので質問させてもらいました。
電子の波動関数も周期的に分布するという事を数学的にも保証しているのがブロッホの定理という物ならそれでスッキリします。ただ、初学者の浅知恵や思い込みのせいで定理の重要性やもっと深い意味などを見落としているのかもしれないと思ったので質問した次第です。

補足日時：2013/11/28 12:27

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2013/11/26 18:33

じゃあブロッホの定理がないと仮定した場合を考えればいいだけです。

ブロッホの定理がある場合と無い場合の違いはなんですか？
周期ポテンシャルを仮定しない場合はどうなるんですか？

そういった話がわかった上での質問ですか？
(補足してください)