極座標系のr方向及びΘ方向単位ベクトルをそれぞれerベクトル、eΘベクトルとあらすとき
等速円運動している物体の加速度が a=-rω^2(er)ベクトルと与えられることを示すのですが
半径r=r(er)ベクトル となりこれを微分して
v=r'(er)ベクトル+r(er)'
=r(er)'
=r(eΘ)
とここまであってますか?
そのあともう一度微分して加速度にするのだと思いますが
どこでωを代入すれば a=-rω^2(er)という式になるのですか?
ちなみに erベクトル=cosΘi+sinΘj eΘ=-sinΘi+cosΘj です
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
x = acosθ → x = -aθ'sinθ → x'' = -a(θ')^2cosθ
y = asinθ → y' = aθ'cosθ → y'' = -a(θ')^2sinθ
速度のr方向成分 = cosθ・x' + sinθ・y' = 0
速度のθ方向成分 = -sinθ・x' + cosθ・y' = aθ’
加速度のr方向成分 = cos・x'' + sinθ・y'' = -a(θ’)^2
加速度のθ方向成分 = -sinθ・x'' + cosθ・y'' = 0
だわさ。
aは円の半径
等速円運動なので
θ'' = 0
θ' = ω
この方法で、
x = rcosθ → x' = r'cosθ - rθ'・sinθ → x'' = …
y = rsinθ → y' = r'sinθ + rθ'・cosθ → y'' = …
とすれば、より一般の極座標の速度、加速度も求まります。
☆☆☆☆☆☆
~~~~~~~~~
半径r=r(er)ベクトル となりこれを微分して
v=r'(er)ベクトル+r(er)'
=r(er)'
=r(eΘ)
とここまであってますか?
~~~~~~~~
もうすでに、ここで間違っている!!
(er)' = (cosθ, sinθ)' = θ'(-sinθ, cosθ) = θ'(eθ)
でしょう。
ほいで、
θ' = ω
だから、
速度はθ方向の向きで、その成分、大きさは「rω」になるのと違うかい?
速度ベクトルは、
rω(-sinθ, cosθ)だから、これを時間で微分すると、
rωθ'(-cosθ, -sinθ) = -rω^2(er)
となります。
加速度の大きさは、rω^2で、その向きは半径方向と反対の向きということになります。
No.1
- 回答日時:
θの微分が抜けてます
>=r(eΘ)
ではなく
=rθ'(eΘ)
[ (er)'=θ' eθ ]
これをもう一度微分して,ω=θ'とすればほしい式になります。
ただし,等速円運動なので
ω=θ'=一定,θ''=0
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