陰関数の微分法

陰関数の微分法

方程式（ｘ＾２／４）ー（ｙ＾２／９）＝１で定められるｘの関数ｙについてｄｙ／ｄｘ、ｄ＾２ｙ／ｄｘ＾２をｘとｙで表せ。
（解答）
(1)（ｘ＾２／４）ー（ｙ＾２／９）＝１の両辺をｘについて微分すると、
２ｘ／４－２ｙ／９×（ｄｙ／ｄｘ）＝０
ｙ≠０のときｄｙ／ｄｘ＝９ｘ／４ｙ
(2)ｄ＾２ｙ／ｄｘ＾２＝９／４×｛（１×ｙ－ｘｙ´）／ｙ＾２｝
(2)についてｘを定数として扱ってはならないのはｙはｘの関数だからと書かれているのですが、
このようにｙを定数として扱ってはならないものの例がほかにあれば教えてください。
初心者なので他の例(陰関数の微分法以外の例）を知りません。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2014/01/28 17:13

(2)ｄ＾２ｙ／ｄｘ＾２＝９／４×｛（１×ｙ－ｘｙ´）／ｙ＾２｝

(1)の　y'＝ｄｙ／ｄｘ＝９ｘ／４ｙを代入して
ｄ＾２ｙ／ｄｘ＾２＝(９／４)｛（ｙ－9(x^2/4y)）／ｙ＾２｝
＝(9/16){(4y^2-9x^2)/y^3}
まで計算すること。

>このようにｙを定数として扱ってはならないものの例がほかにあれば教えてください。

陰関数を微分する場合は、全て該当します。
xy^2=1 → y^2+2xyy'=0 → y'=-y/(2x) (xy≠0)
yx^2+(y/x)=1 → 2xy+(x^2)y'+y'/x -y/x^2 ＝0
xy=1/(1+y^2)　→ y+xy'=-2yy'/(1+y^2)^2
x+y^2=sin(x+y) → 1+2yy'=(1+y')cos(x+y)
sin(x/y)=y → {(y-xy')/y^2}cos(x/y)=y'
等々

この回答への補足

とりあえずは初心者の私は陰関数について警戒しておけばよいのでしょうか？

補足日時：2014/01/28 19:18