No.2ベストアンサー
- 回答日時:
デカルト座標の積分で右辺を導きたいということでしょうか?
立方体を -L ≦ x,y,z ≦ L の表面とします.
soheichan さんが書かれているように対称性を用い
x = L の面上の
0 ≦ y ≦ L , 0 ≦ z ≦ L
の範囲で積分した結果を 24 倍することにします.
まずは,立方体の表面 (x,y,z) = (L,y,z) の位置での電場は
E = Q/(4πε)*(L^2 + y^2 + z^2)^(-3/2) * (L*i + y*j + z*k)
(i,j,k はそれぞれx,y,z方向の単位ベクトル)
となります.
すると
∫E・ndS = Qa/(4πε)*∫(L^2 + y^2 + z^2)^(-3/2)dydz
となりますね.
積分範囲は 0 ≦ y ≦ L , 0 ≦ z ≦ L です.
式を全部書くと大変なので方針だけ書きます.
(1) z = √(L^2 + y^2) * tanθ とおいて置換積分.
0 ≦ θ ≦ Arctan(L/√(L^2 + y^2))
0 ≦ y ≦ L
ここまでで残るは y の積分だけです.
(2) φ = Arctan(L/√(L^2 + y^2)) とおいて置換積分.
π/4 ≦ φ ≦ Arctan(1/√2)
まだ汚いので
(3) t = √(cos(2φ)) とおいて置換積分.
1/√3 ≧ t ≧ 0
ここまで計算すると,
Q/(4πε)*∫dt/(1+t^2) (0 ≦ t ≦ 1/√3)
となります.
ここまで持ってくればあとは常套手段ですね.
最終的に,めでたく
(左辺)= Q/(24ε)
になります.
y についての積分は何度も置換積分していますので
結果的にはそれらをまとめて一回の置換でも出来ることになりますが,
自然に思いつくもので進めていくと,こういった感じになるかと思います.
この回答へのお礼
お礼日時:2004/05/14 15:16
つたない質問文から汲み取っていただき申し訳ないです。
方針だけでも知りたかったので大変参考になりました。
御回答ありがとうございました。
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