No.2ベストアンサー
- 回答日時:
f(x)は多項式だから、nを適当な大きい自然数として、
f(x) = Σ{k=0…n} (a[k] x^k)
と書く事にしましょう。
[1] 「f(x)がどこかで発散したりしないか」ということをひとまず無視して、つまり答の候補となる多項式を計算します。
与えられた式は、xに関する恒等式(任意のxについて成立つ式)です。その両辺をxで微分すれば、(f'(x) = df/dx とすると)
f'(x) + f(x)/x = 6x - 2
つまり
x f'(x) + f(x) = 6(x^2) - 2x
となる。ここで
x f'(x) = Σ{k=0…n} (k a[k] x^k)
以上から、
x f'(x) + f(x) = Σ{k=1…n} ((k+1) a[k] x^k)
これが任意のxについて 6(x^2) - 2x と等しいというんだから、各項の係数を比較すれば
a[0] = 0
2a[1] = -2
3a[2] = 6
a[3] = … = a[n] = 0
となって、f(x)の候補となる多項式がひとつだけ決まる。
[2] この候補が実際に問題の恒等式を確かに満たす、という検算をやれば完璧解答です。(ここをサボると減点。)
No.1
- 回答日時:
f(t)/tはf(t)よりもtの次数が1低く、これを積分したものは
次数が1上がるので、☆はxの二次式です。また、右辺が
xの二次式なので、f(x)もxの二次式です。
そこで
f(x)=ax^2+bx+c
とおくと、
☆=∫(at+b+c/t)dt (積分範囲は1からx)
=[at^2/2+bt+c*logt] (積分範囲は1からx)
=ax^2/2+bx+c*logx-a/2-b
よって
f(x)+☆=3ax^2/2+2bx+c*logx+c-a/2-b
これと 3x^2-2x の係数を比較すると
a=2、c=0、b=ー1
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