複素関数

関数w=1/z' (z':zの共役複素数)について

円|z-3i|=1はどんな図形に移るか

ちなみに答えは|w-3i/8|=1/8でした

解説をお願いします

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/04/27 08:35

余分なコメントを一つだけ…。

>(u^2 + v^2)≠0 なら
　　↑
これを無視すると、
　|w - (3i/8) | = 1/8
にて w=0 として、
　|3/8| = 1/8　…？

　　

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2014/04/26 15:15

z=x+iy, w=u+iv について、

(1) x^2 + (y-3)^2 = 1
(2) x=u/(u^2+v^2), y=v/(u^2+v^2)
…が前提らしい。

あとは、(1) へ (2) を代入してコテコテの勘定…？

　u^2/(u^2+v^2)^2 + {v/(u^2+v^2) - 3}^2 = 1
　u^2 + {v - 3(u^2+v^2)}^2 = (u^2+v^2)^2
　u^2 + v^2 - 6v(u^2+v^2) + 9(u^2+v^2)^2 = (u^2+v^2)^2
(u^2 + v^2)≠0 なら、
　1 - 6v + 8(u^2+v^2)^2 = 0
左辺は、
　1 + 8u^2 + 8{v - (3/8) }^2 - (9/8)
　= 8u^2 + 8{v - (3/8) }^2 - (1/8)
だから、
　u^2 + {v - (3/8) }^2 = (1/8)^2
つまり、
　|w - (3i/8) | = 1/8

　　

No.2 回答者： muturajcp 回答日時： 2014/04/26 14:04

w=1/z'

の両辺にz'/wをかけると
z'=1/w
の両辺の共役をとると
z=1/w'

|z-3i|=1
にz=1/w'を代入すると
|1/w'-3i|=1
の両辺に|w'|をかけると
|1-3iw'|=|w'|
の両辺を2乗すると
|1-3iw'|^2=|w'|^2
で|1-3iw'|^2=(1-3iw')(1+3iw),|w'|^2=ww'だから
(1-3iw')(1+3iw)=ww'
展開すると
1-3iw'+3iw+9ww'=ww'
両辺に-ww'-1を加えると
8ww'+3iw-3iw'=-1
両辺を8で割ると
ww'+3iw/8-3iw'/8=-1/8
w(w'+3i/8)-3i(w'+3i/8-3i/8)/8=-1/8
w(w'+3i/8)-3i(w'+3i/8)/8-9/64=-1/8
(w-3i/8)(w'+3i/8)-9/64=-1/8
両辺に9/64を加えると
(w-3i/8)(w'+3i/8)=1/64
で(w-3i/8)(w'+3i/8)=|w-3i/8|^2だから
|w-3i/8|^2=1/64
の両辺を1/2乗すると
∴
|w-3i/8|=1/8
中心3i/8半径1/8の円に移る

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2014/04/26 10:13

　解説します。

　「関数w」てのは、関数だというのだからフツーに書けば
　　w(z) = 1/z'
ということ。右辺の分子分母にzを掛ければ
　　w(z) = z/(|z|^2)
とも表せます。
　「円|z-3i|=1」というのは、集合
　　C = { z | |z-3i|=1 }
のこと。実際、Cは複素平面上で円周をなす。
　これが「どんな図形に移るか」って、「写るか」なら意味は通じる。すなわち、その「図形」とは、集合
　　{ w(z) | z∈C }
のこと。