cosh(x)の逆関数について質問です。
証明において
y=cosh(x)とおくと
exp(x)=y±√(y^2-1)
となり
exp(x1)=y+√(y^2-1),exp(x2)=y-√(y^2-1) とおくと
exp(x1)・exp(x2)=1,exp(x1)≧exp(x2) なので,0<exp(x2)≦1≦exp(x1)
∴ log(exp(x2))≦0≦log(exp(x2))
となりますが
exp(x1)・exp(x2)=1,exp(x1)≧exp(x2) なので,0<exp(x2)≦1≦exp(x1)
となる理由がわかりません。
なぜ、exp(x1)・exp(x2)=1であるとexp(x2)≦1≦exp(x1)と言えるのですか?
誰か教えて頂けると幸いです。
よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
>なぜ、exp(x1)・exp(x2)=1であるとexp(x2)≦1≦exp(x1)と言えるのですか?
exp(x1)・exp(x2)=1
↓
x1+x2=0 つまり x1 = -x2 だから、x2 < 0 → exp(x2) < 1 かつ exp(x1) > 1
↓
x2 < 0 → exp(x2) < 1 < exp(x1)
…引用文では、「x2≦0 ならば」が脱落しているのかな?
回答ありがとうございます!
x2はこれの証明に置いて、勝手に自分で置きました。
exp(x1)・exp(x2)=1
↓
x1+x2=0
という発想が思いつきませんでした。指数に着目するんですね。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>なぜ、exp(x1)・exp(x2)=1であるとexp(x2)≦1≦exp(x1)と言えるのですか?
exp(x1)・exp(x2)=1なら
exp(x1)>0, exp(x2)>0, exp(x1)≠exp(x2)なので
どちらかが1より大きく、他方は小さい必要があります。
(2と0.5のように)
exp(x1)=y+√(y^2-1),exp(x2)=y-√(y^2-1)
で
exp(x1)≧exp(x2)
以上から
exp(x1)≧1≧exp(x2)
回答ありがとうございます!
exp(x1)≠exp(x2)より、x1=x2=0は不可能であるから
掛けて1にするには一方が1より大きく、他方は1より小さくなるわけだったんですね。
あとは、exp(x1)≧exp(x2)より、exp(x2)が1より小さい方であると判断でき
exp(x1)≧1≧exp(x2)
と言えるというわけですね。
きちんと理解することが出来ました!
ありがとうございます!
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