物理のエレベーターの問題について

Question

上方向に加速度aで上がってくエレベータの中で質量mのボールを高さｈから初速度０で落としたとき、ボールが落下するまでにかかる時間は？

という問題についての質問です。
解答では等加速度運動でやっているんですが、Ｅ保存は使えないんでしょうか？
使えないとしたら使えない理由は何でしょうか？

学校では衝突と摩擦がなければＥ保存則が使えると教わったのですが。

Tann3 · Accepted Answer

質問者さんは、自分でエネルギー保存則を使って解いてみたのですか？　解いてみようと努力して、どこかで挫折したのですか？
　何も努力しないで、あてずっぽうに聞くのではなく、いろいろとやってみて、わからない所を聞くようにしないと、いつまでたっても本当の理解はできませんよ。

少し長くなりますが、整理してみます。

エネルギー保存則は成立します。
　ただし、どこを基準にして、何のエネルギーを考えるか、によって変わりますので、注意が必要です。

（Ａ）一番分かりやすいのは、あなたが「地球上に立って、外からエレベータを見ている場合」です。

このときは、次の2つのエネルギーを考えなければいけません。

（１）ボールは、地球の重力で落下する。位置エネルギーが運動エネルギーに変化するが、その合計は保存される。
　ただし、これはエレベータの動きとは関係のない、「地球上に固定した座標から見たボールのエネルギー」です。

（２）エレベータは、重力に逆らって「上方向に加速度aで上がって行く」わけですから、外からエネルギーを加えられています。この結果、上方向の運動エネルギーと、高くなることによる位置エネルギーを得ているわけです。この合計値は、「外からのエネルギー」が加えられ続けていますから、時々刻々増加しています。（外から加えられたエネルギーを含めてのエネルギー保存則）
　（１）とは逆に、これはボールとは全く無関係に成立します。

しかし、（１）と（２）の各々でエネルギー保存則が成り立っていうことを並べただけでは、「いつ衝突するのか」という答は出ません。（あるロケットの中でのエネルギー保存則と、地球上でのエネルギー保存則を別々に考えても、「衝突するか、衝突しないか」「いつ衝突するか」については、何もわからないということです。
　これだけでは「相互にどういう関係にあるのか」が分かっていないからです。これを知るには、結局は「等加速度運動」であることから導き出すしかないのです。

（Ｂ）それでは、あなたがエレベータの中に立っていて、エレベータと一緒に運動し、そこからボールの動きを見ている場合を考えましょう。
　このときには、エレベータに働く加速度aの分だけ、あなたは「体が重くなったな」と感じるでしょう。あなたが「体が重くなったな」と感じる分、高さに対する「位置エネルギー」は地球上よりも大きくなっています。つまり、地上で落下するよりも運動エネルギーが大きくなります。
　エネルギー保存則で考えれば、エレベータの中の座標系で、ボールの位置エネルギーと運動エネルギーの合計値は一定、ということです。この関係を用いて、エレベータの中の高さをＨ、物体のエレベータを基準にした速度をＶとして、

位置エネルギー＝ｍ・（ｇ＋ａ）・Ｈ　　　　　（Ａ）
　　　運動エネルギー＝（１／２）ｍ・Ｖ^2　　　　（Ｂ）

となります。エネルギー保存則は、

ｍ・（ｇ＋ａ）・Ｈ　＋　（１／２）ｍ・Ｖ^2　＝　一定　　　　（Ｃ）

ということですね。

それでは、これをどうやって解くか、考えてみてください。
　（Ａ）式の高さ「Ｈ」はどうやって求めますか？
　（Ｂ）式の速度「Ｖ」はどうやって求めますか？
　結局、やはり「等加速度運動」で解くしかないのですよ！

ということで、ちょっと愚直にやってみましょう。上向きをプラス、下向きをマイナスで表します。

加速度＝－（ｇ＋ａ）　　　←下向きなので　（Ｄ）
　　　　速度　＝－（ｇ＋ａ）・ｔ　＋　Ｖ０　　
　　　　　　　＝－（ｇ＋ａ）・ｔ　　←問題文より初速度ゼロなので。　（Ｅ）
　　　　高さ　＝－（１／２）（ｇ＋ａ）・ｔ^2　＋　ｈ　　←最初の高さがｈなので。　（Ｆ）

ボールがエレベータの床に衝突するのは、高さ＝０のときなので、その時間は（Ｆ）より求まります。

ｔ＝√［２ｈ／（ｇ＋ａ）］　　　　　　（Ｇ）

これが問題の答ですが、エネルギー保存則が成り立つかどうか見てみましょう。

（Ｇ）の時の速度は、上の（Ｅ）式に（Ｇ）を代入して

Ｖ＝－（ｇ＋ａ）・√［２ｈ／（ｇ＋ａ）］
　　　　　＝－√［２ｈ・（ｇ＋ａ）］　　　　　　　　　　　（Ｈ）

このときの運動エネルギーは、（Ｂ）式から

運動エネルギー＝（１／２）ｍ・Ｖ^2
　　　　　　　　＝（１／２）ｍ・２ｈ・（ｇ＋ａ）
　　　　　　　　＝ｍ・ｈ・（ｇ＋ａ）

で、（Ａ）式のＨ＝ｈ　のときの位置エネルギーに等しいですね。つまり、エネルギー保存則は成り立っています。

では、与えられた問題を、エネルギー保存則を使って解いてみましょう。
　この場合には、（Ｃ）式から、初期状態（高さＨ＝ｈ、速度ゼロ）の位置エネルギーと、衝突した瞬間（高さゼロ、速度Ｖ）の運動エネルギーとが等しくなるので、

ｍ・（ｇ＋ａ）・ｈ　＝　（１／２）ｍ・Ｖ^2　　　（Ｊ）

となります。

（Ｊ）式から、Ｖを求めると

Ｖ＝－√［２ｈ・（ｇ＋ａ）］　　←下向きなのでマイナスを取った　　（Ｋ）

（ああ、（Ｈ）式と同じだ！　　　←あたりまえですよ！）

速度が（Ｋ）になる時間は、（Ｅ）式を使って、

Ｖ＝－√［２ｈ・（ｇ＋ａ）］＝－（ｇ＋ａ）・ｔ

よってこのときの時間は

ｔ＝√［２ｈ／（ｇ＋ａ）］　　　　（Ｌ）

（ああ、（Ｇ）式と同じだ！）

ということで、同じ答が求まります。

結局、同じことをやっているということが、分かったでしょう？
　エネルギー保存則を使う場合でも、位置エネルギーを求めるための「位置」、運動エネルギーを求めるための「速度」は、「等加速度運動」から求めなければならない、ということです。

tknakamuri · Answer

何故エネルギー保存を使うのですか？

普通に等加速度の時刻と距離の関係を使うなら

(1/2)(a+g)t^2 = h　⇒ t = √(2h/(a+g))

で t は即求まります。

力学的エネルギーは、初期状態では (a+g)mh、床到達時は (1/2)mv^2

ですから、保存則だけでは

(a+g)mh = (1/2)mv^2　⇒ v = √(2(a+g)h)

で v しかもとまりません。

＃vはエレベータ内から見た 床到達時の速度

さらに等加速度を利用して

v = (a+g)t なので ⇒ t = √(2h/(a+g))

で求まりますが、遠回りですね。

lazydog1 · Answer

地表で落下するときなら、重力加速度gを使い、落下までの時間をtとして、初速度0だとすれば、

h=(1/2)gt^2　∴t=√(2h/g)

と解けますね（この解き方ではボールの質量mは不要です）。

これに、エレベータの加速度aも加味するには、いろいろ考え方があります。例えば、ボールが加速度gで等加速度運動し、かつ、床が加速度aで等加速度運動して、衝突する前の時間を求めてもいいです（地表から観測してボールと床の二つの運動を眺める視点）。

おそらく最も簡単なのは、等加速度運動で上がるエレベータの中にいて、自分が静止だとして観測する視点です。エレベータの中では重力加速度gに加えて、エレベータの加速度aも、あたかも重力が強くなったように感じます（現実にそういう経験をよくします）。

このとき、エレベータの中では、g+aの重力加速度があると考えて大丈夫なのです。ですので、上で解いた地表での落下現象で、gをg+aと書き換えれば、全く同じようにして解けます。

h=(1/2)(g+a)t^2　∴t=√{2h/(g+a)}

（エレベータが下りるときなら、g+aがg-aになります。）

P.S.

床に衝突するときの速度vを求めるなら、保存則を使えば最も簡単に解けます。地表での落下なら、

mgh=(1/2)mv^2　∴v=√(2gh)

ですね。加速度aで等加速度運動で上がるエレベータなら、やはりgをg+aに変えればいいです。

m(g+a)h=(1/2)mv^2　∴v=√{2(g+a)h}

（これも、エレベータが下りるときなら、g+aがg-aになります。）

物理のエレベーターの問題について

質問者さんは、自分でエネルギー保存則を使って解いてみたのですか？ 解いてみようと努力して、どこかで挫折したのですか？

何故エネルギー保存を使うのですか？

地表で落下するときなら、重力加速度gを使い、落下までの時間をtとして、初速度0だとすれば、

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何故エネルギー保存を使うのですか？　

　地表で落下するときなら、重力加速度gを使い、落下までの時間をtとして、初速度0だとすれば、